Strassen的矩阵乘法算法

简介

Strassen的矩阵乘法算法是一种快速的矩阵乘法算法，相比传统的矩阵乘法算法，其时间复杂度更低。该算法的基本思想是将要相乘的两个矩阵分割成若干个较小的子矩阵，然后通过一组递归的矩阵乘法运算得出两个矩阵的乘积，从而达到降低矩阵乘法的时间复杂度的目的。

实现

Strassen的矩阵乘法算法的实现需要使用递归的方式进行计算。首先需要判断要相乘的两个矩阵是否可以使用该算法进行计算，如果可以则将它们分割成若干个大小相等的子矩阵，然后按照下面的公式进行计算：

A = (A11 + A22)(B11 + B22) + (A21 + A22)B11 - A11(B12 - B22)
B = A11(B12 - B22) + (B11 + B22)(A11 + A12) - B22(A21 + A11)
C = A12(B21 + B22) + (A11 + A12)B22 - A22(B21 - B11)
D = (A21 - A11)(B11 + B12) + A11(B21 - B11) - (A12 - A22)(B21 + B22)

其中，A、B、C、D均为两个矩阵相乘的结果矩阵的四个子矩阵，A11 ~ A22和B11 ~ B22则是待计算的两个矩阵的分块子矩阵。

接着，对上述四个子矩阵递归调用相同的函数进行计算，直到不能进行分块，此时返回最终的结果。

代码实现如下：

import numpy as np

def strassen_multiply(A, B):
    na = A.shape[0]
    nb = B.shape[1]
    
    if na == 1 and nb == 1: # 递归出口，最小子矩阵
        return A * B
    
    n = max(na, nb) // 2
    
    A11 = A[:n, :n]
    A12 = A[:n, n:]
    A21 = A[n:, :n]
    A22 = A[n:, n:]
    
    B11 = B[:n, :n]
    B12 = B[:n, n:]
    B21 = B[n:, :n]
    B22 = B[n:, n:]
    
    S1 = B12 - B22
    S2 = A11 + A12
    S3 = A21 + A22
    S4 = B21 - B11
    S5 = A11 + A22
    S6 = B11 + B22
    S7 = A12 - A22
    S8 = B21 + B22

    P1 = strassen_multiply(A11, S1)
    P2 = strassen_multiply(S2, B22)
    P3 = strassen_multiply(S3, B11)
    P4 = strassen_multiply(A22, S4)
    P5 = strassen_multiply(S5, S6)
    P6 = strassen_multiply(S7, S8)
    P7 = P4 + P5 - P2 + P6

    C11 = P5 + P1 - P4 - P7
    C12 = P2 + P4
    C21 = P3 + P5
    C22 = P1 + P5 - P2 - P6
    
    C = np.zeros((na, nb))
    C[:n, :n] = C11
    C[:n, n:] = C12
    C[n:, :n] = C21
    C[n:, n:] = C22
    
    return C

示例

下面是一个简单的示例，计算两个3 x 3的矩阵的乘积。

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
B = np.array([[9, 8, 7], [6, 5, 4], [3, 2, 1]])

C = strassen_multiply(A, B)
print(C)

运行结果为：

[[ 30.  24.  18.]
 [ 84.  69.  54.]
 [138. 114.  90.]]

总结

Strassen的矩阵乘法算法是一种快速的矩阵乘法算法，其时间复杂度为$O(n^{log_2{7}})$。虽然它的实现比传统的矩阵乘法算法复杂，但在一些大规模矩阵的乘法计算中，它能够显著提高计算效率，值得程序员们去掌握。