矩阵链乘法算法

什么是矩阵链乘法算法？

矩阵链乘法算法是一种用于计算矩阵链乘积的优化算法。它的目的是通过最小化计算跨度，以最小化乘法次数。其结果是一个最优括号化方案，使得计算矩阵乘积所需的乘法次数最少。

算法实现

递归方式

以下是递归方式实现矩阵链乘法算法的示例代码：

def matrix_chain_order(p, i, j):
    if i == j:
        return 0
    res = float('inf')
    for k in range(i, j):
        q = matrix_chain_order(p, i, k) + matrix_chain_order(p, k+1, j) + p[i-1]*p[k]*p[j]
        if q < res:
            res = q
    return res

其中，p 是包含矩阵链中各矩阵的维度信息的列表，i 和 j 分别表示当前矩阵链的起始和终止位置。

动态规划方式

以下是动态规划方式实现矩阵链乘法算法的示例代码：

def matrix_chain_order(p):
    n = len(p) - 1
    m = [[float('inf')] * n for _ in range(n)]
    s = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        m[i][i] = 0
    for l in range(2, n+1):
        for i in range(n-l+1):
            j = i + l - 1
            for k in range(i, j):
                q = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i]*p[k+1]*p[j+1]
                if q < m[i][j]:
                    m[i][j] = q
                    s[i][j] = k
    return m, s

其中，p 是包含矩阵链中各矩阵的维度信息的列表。函数返回两个列表，m 存储最小的乘法次数，s 存储最优括号化方案所对应的断点。

优化空间复杂度

由于动态规划方式实现的矩阵链乘法算法需要存储一个二维数组 m 和一个二维数组 s，因此它的空间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 是矩阵链中矩阵的个数。有一个优化空间复杂度的方法叫做“滚动数组”，可以将二维数组压缩为一维数组。

以下是使用滚动数组实现矩阵链乘法算法的示例代码：

def matrix_chain_order(p):
    n = len(p) - 1
    m = [float('inf')] * n
    s = [0] * n
    for i in range(n):
        m[i] = 0
    for l in range(2, n+1):
        for i in range(n-l+1):
            j = i + l - 1
            for k in range(i, j):
                q = m[k] + p[i]*p[k+1]*p[j+1]
                if q < m[i]:
                    m[i] = q
                    s[i] = k
    return m[0], s

总结

矩阵链乘法算法是一种非常重要的算法，它可以在计算矩阵链乘积时，以最小的乘法次数来保证计算效率。这个算法的实现，既可以使用递归方式，也可以使用动态规划方式。使用动态规划方式可以得到更优的时间复杂度和空间复杂度。如果需要优化空间复杂度，还可以使用滚动数组的方法。