题目介绍

在本题中，我们需要实现一个函数，来求给定操作形成的第 K 个 N 边多边形的长度。具体操作定义如下：

1. 初始时，有一个边长为 L 的正多边形；
2. 对于每一次操作，将当前正多边形的每条边等分成两段，并将分割点两两相连，得到一个新的正多边形；
3. 重复进行操作，直到得到第 K 个正多边形。

需要实现的函数签名如下：

def get_kth_n_polygon_length(n: int, k: int, L: float) -> float:
    pass

其中，n 为多边形的边数，k 为需要求出的多边形的编号，L 为初始正多边形的边长。函数需要返回第 K 个多边形的边长。

解题思路

对于操作 2，即将正多边形的每条边等分成两段，并将分割点两两相连，得到一个新的正多边形，我们需要找到其中的规律。

假设当前正多边形有 n 条边，则将每条边等分成两段后，我们得到了 2n 个点，它们刚好组成一个边长为 2L 的正 n 边形。根据正多边形的性质，其内角为 (n - 2) * 180 / n 度，因此每个等分点和它对称的点连成的线段与多边形的外接圆的半径相等，此时该长度为 2L 的正 n 边形正好将外接圆划分成了 n 个扇形区域，每个扇形区域的弧度角为 360 / n 度，因此每段线段的长度为 2L / sin(180/n)，得到的正多边形的边长为 n * 2L / sin(180/n)。

根据上述规律，我们可以递推得到每个正多边形的边长，并返回第 K 个正多边形的边长即可。

代码实现

按照上述思路，我们可以实现如下代码：

from math import sin, pi


def get_kth_n_polygon_length(n: int, k: int, L: float) -> float:
    # 计算第一个正多边形的边长
    length = n * 2 * L / sin(pi / n)
    # 递推计算第 k 个正多边形的边长
    for i in range(1, k):
        n *= 2
        L = length
        length = n * 2 * L / sin(pi / n)
    return length

其中，我们使用了 math 模块中的 sin 和 pi 函数来计算正弦值和圆周率。递推时，每次将 n 值乘以 2，并将上一个正多边形的边长 L 赋值给 L，然后根据上述规律计算得到下一个正多边形的边长 length。

测试示例

我们使用一些简单的测试用例来检验题目实现的正确性：

assert abs(get_kth_n_polygon_length(3, 1, 1) - 3.0) < 1e-6
assert abs(get_kth_n_polygon_length(3, 2, 1) - 6.0) < 1e-6
assert abs(get_kth_n_polygon_length(4, 1, 1) - 4.0) < 1e-6
assert abs(get_kth_n_polygon_length(4, 2, 1) - 8.0) < 1e-6
assert abs(get_kth_n_polygon_length(4, 3, 1) - 16.0) < 1e-6
assert abs(get_kth_n_polygon_length(5, 1, 1) - 5.0) < 1e-6
assert abs(get_kth_n_polygon_length(5, 2, 1) - 10.0) < 1e-6
assert abs(get_kth_n_polygon_length(5, 3, 1) - 20.0) < 1e-6
assert abs(get_kth_n_polygon_length(6, 1, 1) - 6.0) < 1e-6
assert abs(get_kth_n_polygon_length(6, 2, 1) - 12.0) < 1e-6
assert abs(get_kth_n_polygon_length(6, 3, 1) - 24.0) < 1e-6