最小子序列，连续元素的绝对差之和最大

简介

这个问题的描述比较抽象，但是简单来说就是：

给定一个整数序列，找出其中一个连续子序列，使得这个子序列中元素的绝对差之和最大。

比如给定序列 [1, 3, 2, 4, 5]，最小子序列是 [1, 3, 2]，因为这个子序列中相邻元素的绝对差之和最大，为 3。

这个问题有很多实际应用，比如图像处理、自然语言处理等领域。它也是算法竞赛中的经典问题之一。

解法

本问题的解法有多种，下面介绍其中两种比较常见的方法。

方法一：暴力枚举

暴力枚举是一种直观且简单的解法。具体来说，我们可以枚举所有可能的子序列，然后计算它的绝对差之和，最后取其中的最大值。

下面是一个基于暴力枚举的 Python 代码：

def max_abs_diff(arr):
    n = len(arr)
    ans = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n + 1):
            s = sum(abs(arr[k] - arr[k - 1]) for k in range(i + 1, j))
            ans = max(ans, s)
    return ans

这个代码的时间复杂度是 $O(n^3)$，当序列的长度很大时，会非常慢。

方法二：动态规划

动态规划是比较高效的解法，它可以在线性时间内解决本问题。下面介绍一种基于动态规划的做法。

首先我们可以考虑一种较为朴素的动态规划，设 $f_{i,j}$ 表示以 $i$ 结尾、长度为 $j$ 的子序列的绝对差之和的最大值。显然我们有

$$ f_{i,j}=\max_{k\in[i-j+1,i]}{\sum_{l=k+1}^i{\left|a_l-a_{l-1}\right|}} $$

其中 $a_l$ 表示原序列中的第 $l$ 个元素。可以证明，$f_{i,j}$ 可以通过 $f_{i-1,j-1}$ 和 $a_i$ 计算得到，具体来说，我们有

$$ f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+\left|a_i-a_{i-1}\right|-\left|a_{i-j+1}-a_{i-j}\right| $$

根据这个递推式，我们可以设计一个动态规划算法，计算出所有的 $f_{i,j}$。最终答案即为 $\max_{i,j}{f_{i,j}}$。

下面是一个基于动态规划的 Python 代码：

def max_abs_diff(arr):
    n = len(arr)
    f = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(n + 1):
        for j in range(1, i + 1):
            if j == 1:
                f[i][j] = 0
            elif j == 2:
                f[i][j] = abs(arr[i - 1] - arr[i - 2])
            else:
                f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + abs(arr[i - 1] - arr[i - 2]) - abs(arr[i - j + 1] - arr[i - j])
    return max(f[i][j] for i in range(n + 1) for j in range(1, n + 1))

这个代码的时间复杂度是 $O(n^2)$，是十分高效的算法。

总结

这个问题是一个经典的算法竞赛问题，有多种解法，其中动态规划算法是最高效的。如果你对这个问题感兴趣，可以尝试使用其他算法解决它，或者将它泛化到更一般的情形。