网格中从一个点到另一个点的方式数量

在一个 $m\times n$ 的网格中，我们从其中一个点出发，可以向上、向下、向左或向右移动一格，但不能超出网格的边界。现在给定起点 $(i,j)$ 和终点 $(k,l)$，我们希望知道从起点到终点的所有路径数量。

解法

这是一个典型的动态规划问题。设 $dp_{i,j}$ 表示从起点 $(i,j)$ 到当前位置 $(x,y)$ 的路径数量。则有：

$$ dp_{x,y} = dp_{x-1,y} + dp_{x+1,y} + dp_{x,y-1} + dp_{x,y+1} $$

其中，当 $x=1$ 时，$dp_{x-1,y}=0$，即起点不能向上移动；当 $x=m$ 时，$dp_{x+1,y}=0$，即终点不能向下移动；当 $y=1$ 时，$dp_{x,y-1}=0$，即起点不能向左移动；当 $y=n$ 时，$dp_{x,y+1}=0$，即终点不能向右移动。

最终，$dp_{k,l}$ 就是从起点到终点的路径数量。

代码

def count_paths(m, n, i, j, k, l):
    # 初始化 dp 数组
    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]
    dp[i][j] = 1

    # 递推 dp 数组
    for x in range(i, k+1):
        for y in range(j, l+1):
            if x == i and y == j:
                continue
            dp[x][y] = dp[x-1][y] + dp[x+1][y] + dp[x][y-1] + dp[x][y+1]

            if x == 1:
                dp[x-1][y] = 0
            if x == m:
                dp[x+1][y] = 0
            if y == 1:
                dp[x][y-1] = 0
            if y == n:
                dp[x][y+1] = 0

    # 返回结果
    return dp[k][l]

示例

m = 3
n = 3
i = 1
j = 1
k = 3
l = 3

print(count_paths(m, n, i, j, k, l)) # 输出 6

以上代码的输出为 6，表示从起点 $(1,1)$ 到终点 $(3,3)$ 的路径数量为 6。