问题描述

给定一个数组 nums，我们需要找到一个排列 p，使得数组 nums[i] + nums[p[i]] 的总和最大化。其中 p[i] 表示排列 p 中第 i 个位置的值。

例如，如果 nums = [1,2,4,3]，那么当 p = [2,3,0,1] 时，数组中的元素总和最大，为 13。因为 nums[0] + nums[2] = 1 + 4 = 5，nums[1] + nums[3] = 2 + 3 = 5，nums[2] + nums[0] = 4 + 1 = 5，nums[3] + nums[1] = 3 + 2 = 5。

对于给定的数组，还需要找到它的反转数组 reverseNums，其中 reverseNums[i] = nums[n - i - 1]，其中 n 是数组的长度。并且需要找到一个排列 q，使得 reverseNums[i] + nums[q[i]] 的总和最大化。其中 q[i] 表示排列 q 中第 i 个位置的值。

例如，如果 nums = [1,2,4,3]，那么反转数组 reverseNums = [3,4,2,1]，并且当 q = [2,3,0,1] 时，数组中的元素总和最大，也为 13。 因为 reverseNums[0] + nums[2] = 3 + 4 = 7，reverseNums[1] + nums[3] = 4 + 3 = 7，reverseNums[2] + nums[0] = 2 + 1 = 3，reverseNums[3] + nums[1] = 1 + 2 = 3。

为了简化问题，可以假设数组中所有元素都是正整数，并且元素个数不超过 10^5。

思路

对于数组 nums，定义一个数组 sums，其中 sums[i] = nums[i] + nums[p[i]]，则最大化 nums[i] + nums[p[i]] 相当于最大化 sums 数组中的元素和。

对于数组 reverseNums，同样定义一个数组 reverseSums，其中 reverseSums[i] = reverseNums[i] + nums[q[i]]，则最大化 reverseNums[i] + nums[q[i]] 相当于最大化 reverseSums 数组中的元素和。

对于数组 sums，我们可以计算出对应的最大值，并且记录下最大值对应的排列 p。对于数组 reverseSums，同样可以计算出对应的最大值，并且记录下最大值对应的排列 q。

容易发现，如果对于一个位置 i，有 p[i] = j，则对于反转数组中的位置 n - j - 1，有 q[n-j-1] = i。因此我们可以将 p 中的元素映射到 q 上，即得到 q[n-p[i]-1] = i。

最终的答案即为 max(sum[i], reverseSum[n - i - 1])，其中 i 取值范围为 [0, n-1]。

代码实现

def maximizeSum(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)

    # 定义 sums 和 reverseSums 数组
    sums = [0] * n
    reverseSums = [0] * n

    # 构造 p 和 q 数组
    p = sorted(range(n), key=lambda i: nums[i])
    q = sorted(range(n), key=lambda i: nums[i], reverse=True)

    for i in range(n):
        sums[i] = nums[i] + nums[p[i]]
        reverseSums[i] = nums[q[i]] + nums[n - p[i] - 1]

    # 找到 sums 和 reverseSums 中的最大值及其对应的排列
    maxSum, maxSumP = max([(sums[i], i) for i in range(n)])
    maxReverseSum, maxReverseSumQ = max(
        [(reverseSums[i], i) for i in range(n)])

    # 将 p 映射到 q 上
    q = [0] * n
    for i in range(n):
        q[n - p[maxSumP] - 1] = maxSumP
        maxSumP = p[maxSumP]

    # 计算答案
    ans = maxSum
    for i in range(n):
        ans = max(ans, reverseSums[n - i - 1])
        ans = max(ans, nums[i] + nums[q[i]])

    return ans

代码中用到了 python 的内置函数 sorted 和 max，时间复杂度为 $O(n\log n)$。