📅  最后修改于: 2023-12-03 15:27:34.718000             🧑  作者: Mango
在平面直角坐标系中,一个圆可由其圆心的坐标和半径来表示。如果已知圆上三个点的坐标,可以通过这三个点来确定圆心和半径,从而获得圆的方程。
圆的一般方程为 $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ 其中,圆心坐标为 $(a,b)$,半径为 $r$。
给定圆上三个点 $P_1(x_1,y_1)$,$P_2(x_2,y_2)$ 和 $P_3(x_3,y_3)$,可以通过以下步骤求得圆的方程:
圆的半径为 $r$,由于 $P_1$,$P_2$ 和 $P_3$ 在圆上,因此 $P_1$ 和 $P_2$,$P_2$ 和 $P_3$,$P_3$ 和 $P_1$ 之间的距离均为 $r$。
因此,可以分别求取 $P_1$ 和 $P_2$,$P_2$ 和 $P_3$,$P_3$ 和 $P_1$ 之间的垂直平分线方程。例如,对于点 $P_1$ 和 $P_2$,可以通过以下步骤求出其方程:
圆心一定在 $P_1$ 和 $P_2$,$P_2$ 和 $P_3$,$P_3$ 和 $P_1$ 之间的垂直平分线的交点处。因此,可以求出 $P_1$ 和 $P_2$,$P_2$ 和 $P_3$,$P_3$ 和 $P_1$ 之间的垂直平分线的交点坐标,即可求得圆心坐标 $(a,b)$。
例如,对于 $P_1$ 和 $P_2$,可以通过以下步骤求出其交点坐标 $(x_{12},y_{12})$:
圆心 $(a,b)$ 与 $P_1$,$P_2$,$P_3$ 之间的距离均为 $r$,因此可以任选其中两个点,求出其距离,即可求得半径 $r$。
例如,可以求出 $P_1$ 和 $P_2$ 之间的距离 $d_{12}$,并将其设为半径 $r$。
圆的方程为 $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
将圆心 $(a,b)$ 和半径 $r$ 替换到式子中,即可得到圆的方程。
下面是一个求解圆的三点式方程的 Python 代码实现:
from typing import List, Tuple
def circle_equation_from_three_points(points: List[Tuple[float, float]]) -> Tuple[float, float, float]:
"""给定圆上三个点,求圆方程"""
(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) = points
# Step 1:求取两条垂直平分线方程
mid_point_12 = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)
mid_point_23 = ((x2 + x3) / 2, (y2 + y3) / 2)
k12, k23 = None, None
if y1 != y2:
k12 = -(x2 - x1) / (y2 - y1)
if y2 != y3:
k23 = -(x3 - x2) / (y3 - y2)
# Step 2:求取两条垂直平分线交点坐标
if k12 is None or k23 is None: # 如果存在某条平分线垂直于x轴,则需要单独处理
if k12 is None:
x_intersect = mid_point_12[0]
y_intersect = k23 * (x_intersect - mid_point_23[0]) + mid_point_23[1]
else:
x_intersect = mid_point_23[0]
y_intersect = k12 * (x_intersect - mid_point_12[0]) + mid_point_12[1]
else:
x_intersect = (mid_point_23[1] - mid_point_12[1] + k12 * mid_point_12[0] - k23 * mid_point_23[0]) / (k12 - k23)
y_intersect = k12 * (x_intersect - mid_point_12[0]) + mid_point_12[1]
# Step 3:求取圆的半径
r = ((x1 - x2)**2 + (y1 - y2)**2) ** 0.5 / 2
# Step 4:求取圆的方程
a, b = x_intersect, y_intersect
return a, b, r
该代码接受一个点列表,其中每个点表示为二元组 $(x,y)$ 的形式。输出一个三元组 $(a,b,r)$,其中 $a$ 和 $b$ 分别表示圆心的 $x$ 和 $y$ 坐标,$r$ 表示半径。
该程序实现了上述步骤,对于存在某条垂直于 $x$ 轴的平分线的情况,进行了单独的处理。