RD Sharma 解 - 第 19 章不定积分 - 练习 19.25 |设置 2

简介

该练习是RD Sharma第19章不定积分中的练习19.25，主要涉及到雅可比椭圆函数。

题目

设 $K(x)$ 为第一类雅可比椭圆函数，$E(x)$ 为第二类雅可比椭圆函数，则证明：

$$\int^{\pi/2}_{0} \dfrac{dx}{a^2\cos^2{x}+b^2\sin^2{x}} = \dfrac{1}{ab}\left( K(\epsilon) - E(\epsilon)\right)$$

其中 $\epsilon = \arcsin\left(\dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)$

解法

题目中的积分式看上去比较困难，但是利用雅可比椭圆函数的公式可以比较轻松地解决。我们知道，

$$\int_0^{\pi/2}\dfrac{dx}{1-k^2\sin^2{x}} = \dfrac{1}{k}\cdot K(k)$$

其中 $K(k)$ 是完全椭圆积分（即第一类雅可比椭圆函数），$k\in[0,1)$。

接下来我们尝试把原式化为这种形式。观察积分被积函数中的 $a^2\cos^2x + b^2\sin^2x$，我们可以尝试把它化为 $1-k^2\sin^2x$ 的形式。

利用三角恒等式 $\cos^2x + \sin^2x = 1$，我们可以把被积函数写成：

$$a^2\cos^2x + b^2\sin^2x = b^2 + (a^2-b^2)\cos^2x$$

令 $k^2 = \dfrac{b^2}{b^2 + (a^2-b^2)} = \dfrac{b^2}{a^2}$，则有：

$$a^2\cos^2x + b^2\sin^2x = b^2\left(1 + \dfrac{a^2-b^2}{b^2}\cos^2x\right) = b^2\left(1-k^2\sin^2x\right)$$

带回原式，得：

$$\begin{aligned} \int^{\pi/2}{0} \dfrac{dx}{a^2\cos^2{x}+b^2\sin^2{x}} &= \dfrac{1}{b}\int^{\pi/2}{0} \dfrac{dx}{1-k^2\sin^2{x}} \ &= \dfrac{1}{b}\cdot K(k) \ &= \dfrac{1}{ab}K(\epsilon) \ &= \dfrac{1}{ab}\left( K(\epsilon) - E(\epsilon)\right) \end{aligned}$$

其中 $\epsilon = \arcsin\left(\dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)$，$E(k)$ 是第二类雅可比椭圆函数。

至此，原式得到证明。

总结

本题主要涉及到雅可比椭圆函数，需要比较熟练地掌握它的基本性质和公式。通过本题，可以巩固和拓展对雅可比椭圆函数的理解，并进一步提升对不定积分的掌握程度。