第 12 类 RD Sharma 解 - 第 19 章不定积分 - 练习 19.6

问题一：∫ sin ² (2x+5) dx

解决方案：

sin²(2x+5)= (1-cos2(2x+5)/)2 = (1-cos(4x+10))/2

⇒ ∫sin²(2x+5)dx= ∫(1-cos(4x+10))/2 dx

                          = 1/2 ∫1 dx – 1/2∫cos(4x+10) dx

                          = x/2 – 1/2 ((sin(4x+10))/4)+C

                          = x/2 – sin(4x+10)/8 + C

问题 2：∫sin ³ (2x+1) dx

解决方案：

We need to evaluate ∫sin³(2x+1)dx

By using the formula :  sin3A = -4sin³A + 3sinA

Therefore, sin3(2x+1)= (3sin(2x+1) – sin3(2x+1))/4

∫sin³(2x+1)dx = ∫(3sin(2x+1) – sin3(2x+1))/4 dx

                        = -3cos(2x+1)/8+ cos3(2x+1)/24+C

问题 3：∫cos ⁴ 2x dx

解决方案：

Evaluate the integral as follows 

∫cos⁴2xdx= ∫(cos²2x)² dx

=∫(1/2(cos4x+1))²dx

=∫(1/4(cos8x+1)/2 + 1/4+ cos4x/2)dx

=∫1/8(cos8x + 3/8 + cos4x/2)dx

= sin8x/64 + 3x/8 + sin4x/8 + C

问题 4：∫sin ² bx dx

解决方案：

Let I = ∫sin²bxdx. Then,

I= ∫(1-cos2bx)/2 xdx

=1/2∫dx = 1/2∫cos2bxdx

x/2 – sin(2bx)/4b + c

Therefore, I = x/2 – sin2bx/4b + C

问题 5：∫sin ² (x/2) dx

解决方案：

Let I= ∫sin²(x/2)dx, Then,

     I=1/2 ∫2 sin²(x/2)dx

      = 1/2  ∫(1-cosx)dx                                                        [ cos2x = 1-2sin²x ]

      = 1/2 ∫dx – 1/2 ∫cosx dx

       =x/2-sinx/2 + C

Therefore, I= (x-sinx)/2 + C

问题6：∫cos ² (x/2)dx

解决方案：

We have,

∫cos²(x/2)dx = 1/2 ∫2cos²(x/2)dx

                      =1/2 ∫1+cosxdx

                      =1/2 ∫dx + 1/2 ∫cosx dx

                      = x/2 + sinx/2 + C

                      = (x+sin x)/2 + C

Therefore, cos²(x/2) = (x+sinx)/2 + C

问题 7：∫cos ² nx dx

解决方案：

Let I= ∫cos²nx dx. Then,

     I= 1/2 ∫2cos²nx dx

      = 1/2 ∫[1+cos2nx]dx

      = 1/2 ∫[x + sin2nx/2n ] + C

      = x/2 + (sin2nx/4n) + C

Therefore, I= x/2 + (sin2nx/4n) + C

问题 8：∫sin√(1-cos2x) dx

解决方案：

Let I = ∫sin√(1-cos2x) dx, Then,

     I = ∫sinx * √(2sin²x * dx

       = ∫sinx * √2 * sinxdx

       = √2 ∫2sin²x xdx

       = √2 /2∫2sin²xdx

       = √2 /2[x – (sin2x)/2]+C

       = √2 x/2 – √2 /4 sin2x+C

       =x/√2 – sin2x/2√2 +C

Therefore, I= x/√2  – sin2x/2√2  + C