RD Sharma解-第19章不定积分–练习19.12

简介

本章节是RD Sharma数学教材第19章不定积分中的19.12练习题解答。主要内容为使用积分求解简单的函数不定积分，具有一定的数学难度。

解题思路

本题可以使用换元法来求解不定积分。具体步骤如下：

1. 首先将被积函数中的三次方项分离出来，可以将整个被积函数看成一个三次多项式加上一个余项。

2. 令 $u = x - 1$，则 $du = dx$。

3. 将 $x$ 用 $u+1$ 代替，得到被积函数为：$\int (3u^2+3u+1)du$。

4. 对于被积函数进行积分，得到 $\frac{3}{3} u^3 + \frac{3}{2} u^2 + u + C$。

5. 将 $u$ 用 $x-1$ 替换，最终结果为 $\frac{(x-1)^3}{2} + \frac{3(x-1)^2}{2} + (x-1) + C$。

代码片段

def integrate_function():
    # 被积函数
    func = lambda x: x**3 + 2*x**2 + x
    
    # 积分上下限
    lower_limit = 0
    upper_limit = 2
    
    # 换元法解不定积分
    u = symbols('u')
    substitute = x - 1
    func = func.subs(x, u+1)
    func = func.expand()
    integral = integrate(func, u)
    integral = integral.subs(u, substitute)
    
    # 计算最终结果
    result = integral.subs(x, upper_limit) - integral.subs(x, lower_limit)
    
    return result

以上代码片段为 Python 代码，用于解决本题，主要使用了 SymPy 库中的符号变量和积分函数，以及 Python 中 Lambda 表达式的使用，可用于科学计算或学术研究等方面。