矩阵中从左上角到右下角的最短路径，邻居最多超过 K

在一个给定的矩阵中，从左上角到右下角的最短路径，邻居最多超过 K。

问题描述

给定一个 $m\times n$ 的矩阵和一个整数 $K$，找到从左上角到右下角的最短路径，该路径满足其邻居节点之间的权值不超过 $K$。

解题思路

该问题可以使用动态规划算法解决。设 $dp_{i,j,k}$ 表示从 $(0,0)$ 到 $(i,j)$ 的路径满足其邻居节点之间的权值不超过 $k$ 的最短距离。则可以得到以下状态转移方程：

$$ dp_{i,j,k}= \min \begin{cases} dp_{i-1,j,k-mat_{i,j}}\ dp_{i,j-1,k-mat_{i,j}} \end{cases} + mat_{i,j} $$

其中，$mat_{i,j}$ 表示矩阵 $(i,j)$ 处的权值，注意，$dp_{i,j,k}$ 应该初始化为一个较大的数，表示当前状态不存在。

最终的结果即为 $dp_{m-1,n-1,0\leq k \leq K}$ 中的最小值。

代码实现

下面给出 Python 代码实现，其中 $nrows$ 和 $ncols$ 分别为矩阵的行数和列数，$mat$ 为矩阵，$K$ 为限制条件。

def shortestPath(mat, K):
    nrows, ncols = len(mat), len(mat[0])
    dp = [[[float('inf')] * (K+1) for _ in range(ncols)] for _ in range(nrows)]
    dp[0][0] = [mat[0][0]]*(K+1)

    for k in range(K+1):
        for i in range(nrows):
            for j in range(ncols):
                if i+1 < nrows:
                    dp[i+1][j][k] = min(dp[i+1][j][k], dp[i][j][k] + mat[i+1][j] if k >= mat[i+1][j] else float('inf'))
                if j+1 < ncols:
                    dp[i][j+1][k] = min(dp[i][j+1][k], dp[i][j][k] + mat[i][j+1] if k >= mat[i][j+1] else float('inf'))

                for nk in range(k):
                    dp[i][j][k] = min(dp[i][j][k], dp[i][j][nk] + dp[i][j][k-nk-1])

    return min(dp[-1][-1])

时间复杂度

该算法的时间复杂度为 $O(mnk)$，其中 $k$ 为限制条件，需要枚举。如果 $k$ 较小，可以考虑优化状态转移方程，减少枚举数量，从而得到更优的时间复杂度。