给定矩阵从左上角到右下角单元格的路径的最大XOR

简介

本题是在二维矩阵中从左上角到右下角单元格求最大异或和的问题。题目可以使用动态规划来解决，同时还可以使用位运算的异或操作来进行优化。

解法

解法一：动态规划

具体思路：

1. 定义状态：$dp[i][j]$表示从起点$(0,0)$到$(i,j)$单元格的最大XOR和。

2. 状态转移方程：$dp[i][j] = max(dp[i-1][j] \oplus dp[i][j-1] \oplus matrix[i][j])$，其中$\oplus$表示异或运算，$matrix$表示给定矩阵。

3. 边界条件：$dp[0][0] = matrix[0][0]$。

4. 最终结果：$dp[m-1][n-1]$，其中$m$和$n$分别表示矩阵的行数和列数。

算法时间复杂度为$O(mn)$，空间复杂度为$O(mn)$。

解法二：位运算

根据异或运算的性质，我们可以在计算$dp[i][j]$时，将$dp[i-1][j] \oplus dp[i][j-1]$与$matrix[i][j]$同时异或，从而得到$dp[i][j]$的值。这样可以将算法的空间复杂度优化到$O(n)$，其中$n$为矩阵的列数。

算法时间复杂度为$O(mn\log{C})$，其中$C$为矩阵中元素的最大值，因为在位运算中，需要将数字转换为二进制进行计算。

代码

以下是使用位运算的解法代码片段，具体实现步骤与上述解法一相同，只是在写状态转移方程时进行了优化。

def getMaxXOR(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [0] * n
    dp[0] = matrix[0][0]
    
    for i in range(1, n):
        dp[i] = dp[i-1] ^ matrix[0][i]
    
    for i in range(1, m):
        dp[0] ^= matrix[i][0]
        for j in range(1, n):
            dp[j] = max(dp[j-1], dp[j]) ^ matrix[i][j]
    
    return dp[n-1]

这段代码实现了一种使用位运算的解法，时间复杂度为$O(mn\log{C})$。