将矩阵中的所有路径转换为回文路径的最少步骤

问题描述

已知一个大小为 n×m（1 ≤ n, m ≤ 50）的矩阵，矩阵中每个格子都是一个小写字母。现在要求你从矩阵左上角走到右下角，每次只能向右或向下走一格，最终到达右下角的位置。

请你设计一个算法，使得从左上角到右下角的所有路径都可以被转换为回文路径。其中，一条路径被称为回文路径，当且仅当从路径起点到终点的所有字符正反排列后都相同。

请你计算出将矩阵中的所有路径转换为回文路径的最少步骤。

解决方案

可以通过动态规划来解决这个问题。

我们设 dp[i][j][k] 表示从左上角走到矩阵中第 i 行第 j 列时，把前面的路径转换成回文路径所需要的最少步骤。其中，k 的值为 0 或 1，表示当前路径是否为回文路径。

假设当前格子中的字母是 c。那么从上方的格子来，需要在当前位置添加一个字符 c，从左侧的格子来，需要在当前位置添加一个字符 c。

如果当前路径已经是回文路径，那么从上方和左侧的格子来都可以不添加字符。

因此，我们可以得到如下的状态转移方程：

dp[i][j][0] = min(dp[i-1][j][1] + add_cost(c), dp[i][j-1][1] + add_cost(c))
dp[i][j][1] = min(dp[i-1][j][0] + add_cost(c), dp[i][j-1][0] + add_cost(c), dp[i-1][j-1][1-if(c==d)])

其中，add_cost(c) 表示添加字符 c 所需要的代价，如果 c 和 d 相等，则代价为 0，否则代价为 1。

最终的答案即为 dp[n][m][0]。

代码实现

def min_steps(matrix):
    n, m = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[[0, 0] for _ in range(m+1)] for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, m+1):
            c = matrix[i-1][j-1]
            dp[i][j][0] = min(dp[i-1][j][1] + (c != matrix[i-2][j-1]), dp[i][j-1][1] + (c != matrix[i-1][j-2]))
            dp[i][j][1] = min(dp[i-1][j][0] + (c != matrix[i-2][j-1]), dp[i][j-1][0] + (c != matrix[i-1][j-2]), dp[i-1][j-1][1-(c == matrix[i-2][j-2])])
    return dp[n][m][0]

这个算法的时间复杂度为 O(nm)，空间复杂度也是 O(nm)。