将 Matrix 中所有左上角到右下角路径转换为回文的最小步骤 | 2套

这是一道经典的动态规划问题。假设矩阵为 $M$，大小为 $n \times n$。每个元素都是小写字母。

问题描述：对于矩阵中每一条从左上角到右下角的路径，将其转换为回文需要的最小步骤是多少？一次操作可以是替换一个字符或者删除一个字符。

解法 1：最长公共子序列

一个很自然的思路是将路径反向，使用最长公共子序列算法计算路径与其反向路径的最长公共子序列，在这个过程中插入少量字符使得路径变为回文。设矩阵大小为 $n$，时间复杂度为 $O(n^4)$。

def palindrome_steps_1(matrix):
    n = len(matrix)
    reverse_matrix = [[matrix[j][i] for j in range(n)] for i in range(n)]
    return n - lcs(matrix, reverse_matrix)

def lcs(s1, s2):
    n1, n2 = len(s1), len(s2)
    dp = [[0] * (n2 + 1) for _ in range(n1 + 1)]
    for i in range(1, n1 + 1):
        for j in range(1, n2 + 1):
            if s1[i - 1] == s2[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
    return dp[n1][n2]

解法 2：动态规划

观察到问题的子结构，可以使用动态规划来解决。设 $dp_{i,j}$ 表示矩阵从 $(0,0)$ 走到 $(i,j)$ 需要的最小步骤。

若当前字符相等，则前进一步，即 $dp_{i,j} = dp_{i-1, j-1}$。

若不相等，则需要将其变为相等的字符，或者删除其中一个字符。取这两种操作中步骤最小的，即 $dp_{i,j} = \min(dp_{i-1,j-1},dp_{i,j-1},dp_{i-1,j}) + 1$。

最终结果为 $dp_{n-1,n-1}$。时间复杂度为 $O(n^2)$。

def palindrome_steps_2(matrix):
    n = len(matrix)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(1, n):
        dp[i][0] = dp[0][i] = dp[i - 1][0] + 1
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, n):
            if matrix[i][j] == matrix[i - 1][j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + 1
    return dp[n - 1][n - 1]

以上两个算法都是可行的，但时间复杂度和空间复杂度不同。对于较大的矩阵，动态规划算法更为优秀。

以上就是两种解法的实现和介绍，希望能对你的工作或考试有所帮助。