将 Matrix 中所有左上角到右下角路径转换为回文的最小步骤

介绍

本题要求将一个二维 Matrix 中所有左上角到右下角路径转换为回文的最小步骤。这个问题可以通过动态规划来解决。

动态规划解法

状态定义

假设 Matrix 的大小为 $n \times n$，令 $dp_{i,j,k}$ 表示从 Matrix 左上角到右下角路径中，第一个字符位于 $(i,j)$，最后一个字符位于 $(k,l)$ 的子问题的最小步骤数。

状态转移

• 当 $i = k$ 且 $j = l$ 时，即转移至单个字符。此时，$dp_{i,j,k} = 0$。
• 当 $i < k$ 且 $j = l$ 时，即转移至单列字符。此时，$dp_{i,j,k} = dp_{i+1,j,k-1} + |M_{i,j} - M_{k,l}|$。
• 当 $i = k$ 且 $j < l$ 时，即转移至单行字符。此时，$dp_{i,j,k} = dp_{i,j+1,k-1} + |M_{i,j} - M_{k,l}|$。
• 当 $i < k$ 且 $j < l$ 时，即转移至多行多列字符。此时，可分解为以下两种情况：
  • $M_{i,j} = M_{k,l}$，则 $dp_{i,j,k,l} = dp_{i+1,j,k-1,l-1}$；
  • $M_{i,j} \neq M_{k,l}$，则需要将 $M_{i,j}$ 变为 $M_{k,l}$，或将 $M_{k,l}$ 变为 $M_{i,j}$。因此，$dp_{i,j,k,l} = \min(dp_{i+1,j,k,l}+1, dp_{i,j,k,l-1}+1)$。

初始状态

当 $i = k$ 且 $j = l$ 时，$dp_{i,j,k} = 0$。

目标状态

问题的解为 $dp_{1,1,n,n}$。

代码实现

def min_steps_to_palindrome(matrix): 
    n = len(matrix)
    dp = [[[0] * n for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            dp[i][j][i] = 0
    
    for size in range(2, n + 1):
        for i in range(n - size + 1):
            j = i + size - 1
            for k in range(i, j):
                dp[i][j][k] = dp[i+1][j-1][k-1] + abs(matrix[i][k]-matrix[j][k])
                dp[i][j][k] = min(dp[i][j][k], dp[i+1][j][k]+1)
                dp[i][j][k] = min(dp[i][j][k], dp[i][j-1][k]+1)
    
    return dp[0][n-1][n-1]

参考链接

• LeetCode 1312. Minimum Insertion Steps to Make a String Palindrome
• GeeksforGeeks - Minimum insertions to form a palindrome with permutation of given array

以上是本题的动态规划解法。