由长度至少为K的连续段形成的LCS

在动态规划中，最长公共子序列（LCS）问题是一个经典问题。给定两个字符串，我们需要找到它们共同的最长的子序列。

但是，在本题中，我们将考虑一个稍微不同的问题，即找到由长度至少为K的连续段形成的两个字符串的LCS。这意味着我们需要找到的序列需要包含至少一个长度为K的连续段。

解法

我们可以使用动态规划来解决这个问题。首先，我们需要定义一个状态数组dp，其中dp[i][j]表示第一个字符串前i个字符和第二个字符串前j个字符之间的LCS，那么我们需要找到一个长度为k的连续段。考虑到任何LCS都包括连续字串作为其一部分，因此我们可以扩展动态规划状态。

我们需要定义一个新的状态数组dp_ext，其中dp_ext[i][j]表示以第一个字符串的第i个字符和第二个字符串的第j个字符作为结尾的LCS。同时，我们需要维护一个变量max_length，它表示LCS的最大长度。

因此，递推公式为:

dp_ext[i][j] = dp_ext[i-1][j-1] + 1, 如果text1[i-1] == text2[j-1]，否则为 0
if dp_ext[i][j] >= K:
    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1] + dp_ext[i][j])
    max_length = max(max_length, dp[i][j])
else:
    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1])

在这个过程中，我们可以观察到：

1. 当dp_ext[i][j] >= K时，我们将LCS的值添加到dp[i][j]中。我们需要在三个可能的来源中选择最大值：

   • dp[i-1][j]: 第一个字符串的前i-1个字符和第二个字符串的前j个字符的LCS
   • dp[i][j-1]: 第一个字符串的前i个字符和第二个字符串的前j-1个字符的LCS
   • dp[i-1][j-1] + dp_ext[i][j]: 以第一个字符串的第i个字符和第二个字符串的第j个字符结尾的LCS

2. 当dp_ext[i][j] < K时，我们仅仅需要从前三个可能的来源中选择最大值。

3. 我们需要将max_length更新为dp[i][j]的最大值。

最后，我们需要返回max_length作为最终结果，它就是由长度至少为K的连续段形成的LCS。

代码实现

def find_lcs_with_k_consecutive_segments(text1: str, text2: str, k: int) -> int:
    n1, n2 = len(text1), len(text2)
    dp, dp_ext = [[0] * (n2+1) for _ in range(n1+1)], [[0] * (n2+1) for _ in range(n1+1)]
    max_length = 0
    for i in range(1, n1+1):
        for j in range(1, n2+1):
            dp_ext[i][j] = dp_ext[i-1][j-1] + 1 if text1[i-1] == text2[j-1] else 0
            if dp_ext[i][j] >= k:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1] + dp_ext[i][j])
                max_length = max(max_length, dp[i][j])
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1])
    return max_length

总结

由长度至少为K的连续段形成的LCS是一个经典动态规划问题，可以通过扩展LCS问题来解决它。本题的解法采用了动态规划技巧，将不同的状态合并起来，以找到我们所需要的解。这个问题在求解基因组序列比对或者文本相似性匹配时会频繁被用到。