使用给定操作将 str1 转换为 str2 的最低成本

在实际开发中，我们经常需要使用一些字符串操作来处理字符串，如字符串比较、字符串拼接、字符串替换等等。但是，有时候需要将一个字符串转换为另一个字符串，这时候就需要考虑转换的成本问题。

给定两个字符串 str1 和 str2，以及可以执行的 3 种操作：

1. 插入一个字符
2. 删除一个字符
3. 替换一个字符

请编写一个函数，计算将 str1 转换为 str2 的最低成本。

思路分析

我们可以通过动态规划的思想来解决这个问题。

定义 dp[i][j] 表示将 str1[0:i] 转换为 str2[0:j] 的最小成本。

分析当前字符，共分为以下两种情况：

1. 当前字符相同，不需要进行任何操作，后移继续比较 dp[i+1][j+1]
2. 当前字符不同，需要进行以下三种操作之一：
   • 插入一个字符，使得 str1[i] == str2[j+1]，dp[i][j+1]+1
   • 删除一个字符，使得 str1[i+1] == str2[j]，dp[i+1][j]+1
   • 替换一个字符，使得 str1[i+1] == str2[j+1]，dp[i+1][j+1]+1

综上所述，

$$ dp[i][j] = \begin{cases} 0 & i=j=0 \ i & j=0 \ j & i=0 \ dp[i-1][j-1] & str1[i-1]==str2[j-1]\ \min{dp[i][j-1]+1,dp[i-1][j]+1,dp[i-1][j-1]+1} & \text{otherwise} \end{cases} $$

最终结果为 $dp[m][n]$。

代码实现

def min_cost(str1: str, str2: str) -> int:
    m, n = len(str1), len(str2)
    dp = [[0]*(n+1) for _ in range(m+1)]
    for i in range(m+1):
        dp[i][0] = i
    for j in range(n+1):
        dp[0][j] = j
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            if str1[i-1] == str2[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i][j-1]+1, dp[i-1][j]+1, dp[i-1][j-1]+1)
    return dp[m][n]

测试案例

现在我们来测试一下这个函数，看看是否能正确计算字符串转换的最小成本。

assert min_cost('horse', 'ros') == 3
assert min_cost('intention', 'execution') == 5
assert min_cost('', '') == 0
assert min_cost('abc', 'abc') == 0
assert min_cost('abc', 'a') == 2

总结

通过以上的代码实现和测试，我们可以看出动态规划思想在字符串转换的最小成本问题中的应用。值得注意的是，我们的时间复杂度为 $O(mn)$，空间复杂度为 $O(mn)$，优化空间复杂度可以使用滚动数组来实现。