使用MO算法计算子阵列中奇偶校验元素的数量

在计算机科学中，MO算法是一种解决关于静态查询问题的算法。MO算法使用一种叫做“莫队”的数据结构。它通过排序问题，然后把问题分块。使用莫队数据结构可以轻松快速的进行静态区间查询。

在本篇文章中，我们将介绍如何使用MO算法来计算子阵列中奇偶校验元素的数量。

问题描述

给定一个长度为n的数组A，和m个查询。每个查询包含左右指针（l,r），求出[l,r]子数组中奇数元素的数量。

MO算法实现

我们需要将查询分块，每块的查询可以独立计算，然后将结果合并起来。具体实现分为以下几个步骤：

1. 预处理块的大小：根据输入数据的大小，我们需要将查询分成若干块，每块的大小预处理为sqrt(n)。
2. 排序查询：我们需要将所有的查询按照块编号排序。
3. 预处理块中的元素出现次数：我们需要根据每个块的左右指针，预处理该块中各元素出现的次数。
4. 执行查询：我们按照排序后的顺序，对每个块进行处理。

预处理块的大小

我们可以将查询分成sqrt(n)个块，每块的大小为sqrt(n)。这样可以保证在预处理和后续处理查询时，块的数量和规模合适。

int block_size = ceil(sqrt(n));

排序查询

我们需要将所有的查询按照块编号排序。这样做的目的是为了后续查询块的方便。

// 根据块编号从小到大排序
sort(queries.begin(), queries.end(), [&block_size](const Query &a, const Query &b) {
    int a_block = a.l / block_size, b_block = b.l / block_size;
    if (a_block != b_block) {
        return a_block < b_block;
    }
    return a.r < b.r;
});

预处理块中的元素出现次数

我们需要对每个块中的元素出现次数进行预处理。对于每个块，我们需要预处理该块中各元素出现的次数。我们可以用类似哈希表的方式来统计次数，时间复杂度为O(block_size*max_element)。这里采用std::vector cnt(max_element, 0)来表示哈希表。

// 预处理各块元素出现的次数
vector<int> cnt(max_element, 0);
for (int i = 0, l = 0, r = -1; i < q; ++i) {
    const Query &query = queries[i];
    while (r < query.r) {
        ++r;
        cnt[a[r]]++;
    }
    while (r > query.r) {
        cnt[a[r]]--;
        --r;
    }
    while (l < query.l) {
        cnt[a[l]]--;
        ++l;
    }
    while (l > query.l) {
        --l;
        cnt[a[l]]++;
    }
    query_cnt[query.id] = cnt; // 存储该块的元素出现次数
}

执行查询

按照排序后的查询顺序，对每个块进行处理。对于每个块中的查询，我们只需要将该块元素出现次数数组和查询区间的异或和取奇数个数即可。

vector<int> cnt(max_element, 0); // 存储当前块中各元素出现的次数
int odd_cnt = 0; // 存储[l,r]区间中奇数元素的数量
for (const Query &query: queries) {
    const vector<int> &block_cnt = query_cnt[query.id];
    int odd = 0;
    for (int i = 0; i < max_element; ++i) {
        cnt[i] += block_cnt[i];
        if (cnt[i] & 1) { // 如果该元素出现的次数为奇数
            ++odd;
        }
    }
    while (odd_cnt < query.odd_cnt) { // 右指针右移
        if (cnt[a[++r]] & 1) {
            ++odd_cnt;
        }
    }
    while (odd_cnt > query.odd_cnt) { // 右指针左移
        if (cnt[a[r--]] & 1) {
            --odd_cnt;
        }
    }
    while (l < query.l) { // 左指针右移
        if (cnt[a[l++]] & 1) {
            --odd_cnt;
        }
    }
    while (l > query.l) { // 左指针左移
        if (cnt[a[--l]] & 1) {
            ++odd_cnt;
        }
    }
    query.ans = odd_cnt;
}

完整代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

struct Query {
    int id, l, r, odd_cnt, ans; // id是查询编号，odd_cnt是该查询中奇元素的数量
    Query() {}
    Query(int id, int l, int r): id(id), l(l), r(r), odd_cnt(0), ans(0) {}
};

int main() {
    int n, q;
    vector<int> a;

    // 输入数据

    int block_size = ceil(sqrt(n));
    vector<Query> queries(q);
    for (int i = 0, l, r; i < q; ++i) {
        cin >> l >> r;
        --l; --r;
        queries[i] = Query(i, l, r);
        queries[i].odd_cnt = (r - l + 1 + a[l] % 2) / 2; // 计算奇数元素的数量
    }
    sort(queries.begin(), queries.end(), [&block_size](const Query &a, const Query &b) {
        int a_block = a.l / block_size, b_block = b.l / block_size;
        if (a_block != b_block) {
            return a_block < b_block;
        }
        return a.r < b.r;
    });

    vector<int> cnt(max_element, 0); // 存储当前块中各元素出现的次数
    unordered_map<int, vector<int>> query_cnt; // 存储每个查询对应块的元素出现次数数组

    // 预处理各块元素出现的次数
    for (int i = 0, l = 0, r = -1; i < q; ++i) {
        const Query &query = queries[i];
        while (r < query.r) {
            ++r;
            cnt[a[r]]++;
        }
        while (r > query.r) {
            cnt[a[r]]--;
            --r;
        }
        while (l < query.l) {
            cnt[a[l]]--;
            ++l;
        }
        while (l > query.l) {
            --l;
            cnt[a[l]]++;
        }
        query_cnt[query.id] = cnt; // 存储该块的元素出现次数
    }

    // 对每个块中的查询，统计奇数元素的数量
    int odd_cnt = 0; // 存储[l,r]区间中奇数元素的数量
    for (const Query &query: queries) {
        const vector<int> &block_cnt = query_cnt[query.id];
        int odd = 0;
        for (int i = 0; i < max_element; ++i) {
            cnt[i] += block_cnt[i];
            if (cnt[i] & 1) { // 如果该元素出现的次数为奇数
                ++odd;
            }
        }
        while (odd_cnt < query.odd_cnt) { // 右指针右移
            if (cnt[a[++r]] & 1) {
                ++odd_cnt;
            }
        }
        while (odd_cnt > query.odd_cnt) { // 右指针左移
            if (cnt[a[r--]] & 1) {
                --odd_cnt;
            }
        }
        while (l < query.l) { // 左指针右移
            if (cnt[a[l++]] & 1) {
                --odd_cnt;
            }
        }
        while (l > query.l) { // 左指针左移
            if (cnt[a[--l]] & 1) {
                ++odd_cnt;
            }
        }
        query.ans = odd_cnt;
    }

    // 输出查询结果
    for (int i = 0; i < q; ++i) {
        cout << queries[i].ans << endl;
    }

    return 0;
}

总结

使用MO算法可以在O(q*sqrt(n)*max_element)的时间内，解决查询[l,r]子数组中奇数元素的数量的问题，其中q为查询数量，n为数组长度，max_element为数组元素的最大值。其核心思想是预处理每个块中各元素出现的次数，并针对每个块中的查询进行处理。由于该算法采用分块和哈希表的思想，其时间复杂度相对较低，代码实现也比较简单易懂。