使用 MO 的算法对子数组中的阿姆斯壮数进行计数的范围查询

简介

MO 算法是一种处理莫队问题的算法，它通常用于解决静态区间查询问题。它的思想是将整个区间分成若干块，然后处理所有块内的询问，最后再处理所有不完整的块的询问。由于阿姆斯壮数的判断只涉及位数，因此可以使用 MO 算法在时间效率上进行优化。

阿姆斯壮数

阿姆斯壮数（Armstrong number），也称为自恋数或者水仙花数，是指一个 $n$ 位数（$n ≥ 2$）的各位数字的 $n$ 次方之和等于其本身的数。

举例：当 $n=3$ 时，$153 = 1^3 + 5^3 + 3^3$，因此 $153$ 是一个阿姆斯壮数。

算法思路

我们需要使用前缀和 $sum_i$ 存储前 $i$ 个数中阿姆斯壮数的个数，然后我们再使用 MO 算法处理所有的询问。对于每个询问，我们需要记录它的左右端点 $l$ 和 $r$，还需要记录它处理的块的编号 $bel_i$。对于完整的块，我们只需要使用预处理得到的前缀和即可。对于不完整的块，我们需要暴力地计算阿姆斯壮数的个数。

对于每个询问 $[l, r]$，我们先要将它所在的整个块处理完全，然后再继续处理不完整的块。当处理整个块时，我们可以直接使用前缀和快速计算区间内的阿姆斯壮数的个数。当处理不完整的块时，我们需要遍历每一个元素来判断是否是阿姆斯壮数。

当我们记录完所有部分块的查询后，我们可以将所有查询按照块编号 $bel_i$ 排序，然后按照相应的顺序输出所有的查询结果。

代码实现

# 定义阿姆斯壮数的计算函数
def isArmstrong(num: int) -> bool:
    sum = 0
    n = len(str(num))
    
    for i in str(num):
        sum += int(i) ** n
    
    return sum == num

# 预处理前缀和并对所有查询进行排序
def preprocess(nums, queries):
    # 定义块的大小
    block_size = int(len(nums) ** 0.5)
    
    # 计算前缀和
    prefix_sum = [0]
    for num in nums:
        prefix_sum.append(prefix_sum[-1] + isArmstrong(num))
    
    # 对所有查询进行排序
    sorted_queries = []
    for i, (left, right) in enumerate(queries):
        sorted_queries.append((left, right, i, left // block_size, right // block_size))
    sorted_queries.sort(key=lambda x: (x[3], x[4], x[1]))
    
    return prefix_sum, sorted_queries

# 定义 MO 算法的处理函数
def mo_algorithm(nums, queries):
    prefix_sum, sorted_queries = preprocess(nums, queries)
    
    # 定义指针和计数器
    l = r = ans = 0
    count = [0] * (len(nums) + 1)
    
    results = [0] * len(queries)
    for left, right, q_idx, block_left, block_right in sorted_queries:
        while l < left:
            count[prefix_sum[l]] -= 1
            ans -= count[prefix_sum[l] + 1]
            ans += count[prefix_sum[l] - 1]
            l += 1
        
        while l > left:
            l -= 1
            count[prefix_sum[l]] += 1
            ans += count[prefix_sum[l] + 1]
            ans -= count[prefix_sum[l] - 1]
        
        while r < right:
            r += 1
            count[prefix_sum[r]] += 1
            ans += count[prefix_sum[r] - 1]
            ans -= count[prefix_sum[r] + 1]
        
        while r > right:
            count[prefix_sum[r]] -= 1
            ans -= count[prefix_sum[r] + 1]
            ans += count[prefix_sum[r] - 1]
            r -= 1
        
        # 对于不完整的块，暴力计算阿姆斯壮数的个数
        if block_left == block_right:
            for i in range(left, right + 1):
                ans += isArmstrong(nums[i])
        
        results[q_idx] = ans
    
    return results

# 测试代码
nums = [1, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 9475]
queries = [(0, 3), (1, 8), (2, 5), (3, 7), (4, 8)]
print(mo_algorithm(nums, queries))

上述代码实现了一个简单的 MO 算法，可以计算子数组中的阿姆斯壮数的个数。它的时间复杂度为 $O(n\sqrt{n}\log n)$，其中 $n$ 是数组的长度。