第10类RD Sharma解——第8章二次方程——练习8.11

简介

这是一份针对RD Sharma的第10类题集中第8章二次方程中练习8.11的解答。本文通过分步解析每道题的思路与解法，帮助你更好地理解二次方程的概念。

练习8.11

1. 在以下方程中，找出a,b,c的值和确定它们是否构成等差数列。

(i) $ ax^2 + bx + c = 0 $

(ii) $ ax^2 + bx - 2a = 0 $

(iii) $ ax^2 + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2} = 0 $

解答：

(i) 根据二次方程的一般形式，我们可以得出以下式子：

$ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2)$，其中x1和x2分别为二次方程的两个根。

根据题目，我们可将上式与题目的方程分别进行比较：

$a(x^2-x1.x-x2.x) + b(x-x1)(x-x2) + c = 0$

令x =x1，于是我们得出：

$c = ax1^2$

同理，令x=x2，我们可以得到：

$c = ax2^2$

将以上两个式子联立，我们可以得出：

$x1^2 +x2^2 = \frac{-b}{a}$

如果上述等式成立，那么a,b,c就构成等差数列。如果不成立，a,b,c就不构成等差数列。

(ii)根据题目，我们可以得到以下的式子：

$ax^2 + bx - 2a = 0$

同样地，在二次方程的一般形式中，

$ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)$

所以，

$2a = b$

另一方面，我们可以将方程变形为：

$ax^2 +bx=2a$

再对其进行因数分解：

$a(x+\frac{b}{2a}) = 2a$

从而可以得到：

$x+\frac{b}{2a}=\frac{2a}{a}$

$x=-\frac{b}{2a}$

将以上两个式子代入原方程，得到：

$-\frac{b^2}{4a}+0-2a=0$

解出上式可得：

$a = \pm\frac{b}{2\sqrt{2}}$

所以，a,b,c不构成等差数列。

(iii)将第三个方程化为以下形式：

$ax^4+bx^3+c=0$

套用(i)的方法，我们可以得到：

$b = 0$

$c = 0$

因此，a,b,c构成等差数列。

结论

通过以上题目的解答，我们可以看到，利用一般二次方程的形式，我们能够解决各种形式的二次方程，方便快捷地得到答案。有了这些方法，我们对于二次方程的理解也更加深入，更加熟练地运用它们。