给定数组中最长的置换子序列

在进行数组操作的时候，置换操作是一个经常涉及到的问题。本篇介绍的是如何在给定数组中找到最长的置换子序列，同时提供代码实现。

问题描述

给定一个长度为n的整数数组，找到其长度最长的置换子序列长度。置换指将一个序列中的某些元素进行交换位置。

例如，对于序列[1, 4, 3, 2, 5, 6]，可以通过将第2个和第4个元素以及第5个和第6个元素交换位置得到另一个序列[1, 2, 3, 4, 6, 5]，它们就是该序列的一个置换对。那么长度最长的置换子序列长度是4，比如[1, 2, 3, 4]。

解法思路

观察题目可知：对于长度为n的置换子序列，它最多只会由n/2个位置对组成。

则我们可以将该序列拆成若干个位置对，然后统计每对位置在原序列中的顺序关系，分别统计逆序对和正序对，最终取它们中的较大值作为长度最长的置换子序列长度。

代码实现

def max_swap_sequence(arr):
    """
    对于一个给定的序列，返回其长度最长的置换子序列长度
    :param arr: 给定的序列
    :return: 最长的置换子序列长度
    """
    n = len(arr)
    positions = [[i, arr[i]] for i in range(n)]
    positions.sort(key=lambda x:x[1])
    visited = [False] * n
    seq_len = 0
    for i in range(n):
        if visited[i] or positions[i][0] == i:
            continue
        cycle_size = 0
        j = i
        while not visited[j]:
            visited[j] = True
            j = positions[j][0]
            cycle_size += 1
        if cycle_size > 0:
            seq_len += (cycle_size - 1)
    return min(seq_len + 2, n)

代码说明

1. 对于序列中每个元素，通过将该元素的位置和对应的数值保存到一个列表positions中，方便后面进行排序。排序后，positions中每个元素的第一个元素即为当前位置，第二个元素为原序列中对应位置的值。

2. 遍历positions列表，对于每个位置i，如果它已经被访问过，或者该位置在排序后所对应的位置就是它本身，那么就继续下一个位置的遍历。

3. 进入本次循环，cycle_size初始化为0，内层循环一直到找到第一个已经被访问过的位置，此时得到当前循环节的大小cycle_size。

4. 根据循环节的大小得到当前循环节内的最长置换子序列长度cycle_size-1。

5. 序列的最长置换子序列长度为seq_len+2（seq_len保存的是所有循环节内的最长置换子序列长度之和），但不能大于序列的长度n。

6. 返回最长置换子序列长度。