给定数组中最长的置换子序列

介绍

题目描述：给定一个长度为 $n$ 的数组，求最长的子序列使得该子序列中的元素互为置换。

本题涉及到的概念有：子序列、置换。

子序列：一个序列删除任意元素后得到的序列称为其子序列。

置换：给定一个有限集，若一个置换将该集的元素映射成另一个集合的元素，且满足映射后的元素与原元素一一对应，则称该映射为置换，被映射的集合称为置换前的集合，映射后的集合称为置换后的集合。

解题思路

本题可以使用贪心算法来解决，每次选择当前未选取中出现次数最多的元素加入子序列，同时将该元素从原序列中删除，直到序列中不存在该元素，即所有出现次数最多的元素都被加入子序列中。

def max_permutation_subsequence(nums: List[int]) -> int:
    """
    给定一个长度为n的数组，求最长的子序列使得该子序列中的元素互为置换。

    Args:
        nums: 一个长度为n的数组

    Returns:
        最长的子序列的长度
    """
    nums_dict = collections.Counter(nums)  # 统计每个元素出现的次数

    result = 0
    while nums_dict:
        max_num = max(nums_dict.values())  # 出现次数最多的元素在字典中的值
        result += max_num
        nums_dict = {k: v - max_num for k, v in nums_dict.items() if v > max_num}  # 删除出现次数最多的元素

    return result

时间复杂度

由于字典删除操作的时间复杂度为 $O(n)$，因此总的时间复杂度为 $O(n^2)$。

空间复杂度

由于需要使用字典来记录每个元素出现的次数，空间复杂度为 $O(n)$。

总结

本题中的置换概念需要事先了解，可以从数学上理解置换的概念。通过贪心算法求解可以使得复杂度较为容易控制。