可以在 K 步中减少到 0 的最大数 N

在编写算法时，常常需要找到一种数值上限。通常，这个限制可以表达为“在给定的步骤数内，我希望能够将这个数字降低到0”。在这个问题中，我们要找到的是在这种条件下可以达到的最大数字。

问题描述

给定一个非负整数N和一个整数K，找到一个最大的正整数M，使得我们可以将N减少K次，使其变为0。

解决方案

方法一：暴力枚举

我们可以考虑从1开始调整M的值，直到找到在K步内可以将N减少到0的最大M为止。这种方法的时间复杂度为O(N*K)，显然，这种方法非常慢，当M和K较大时，运行时间将为指数级别。

方法二：二分搜索

另一种方法是使用二分搜索。我们知道要找到的是在0和N之间的M，我们可以使用二分搜索来找到这个值。时间复杂度为O(log N)，相比于方法一大大缩短了时间。

def max_num(N, K):
    l, r = 1, N
    while l <= r:
        mid = (l + r) // 2
        cnt = 0
        for i in range(K):
            cnt += mid ** i
            if cnt > N:
                break
        if cnt == N:
            return mid
        elif cnt < N:
            l = mid + 1
        else:
            r = mid - 1
    return r

方法三：数学推导

我们可以通过数学来得到答案，如果我们考虑第一步取m，则剩余的数字为n-m，并且我们需要在K-1步内将其减少到0。根据上述类推，递归地应用这个过程，得到公式。

$$max_num(N, K) = (N // \sum_{i=0}^{K-1}m^i)^{\frac{1}{K}}$$

时间复杂度为O(1)，显然是最快的方法。

def max_num(N, K):
    s = 0
    for i in range(K):
        s += N // (K ** i)
    return (N // s) ** (1/K)

总结

这篇文章详细介绍了如何在给定的步骤内将数字降低到0的最大数字。我们介绍了三种方法来解决这个问题：暴力枚举，二分搜索和数学推导。我们发现数学推导是最快的方法，具有O(1)的时间复杂度。