AVL树 | 设置1(插入)

简介

AVL树是一种自平衡二叉搜索树，每个节点的左右子树高度差的绝对值不超过1，以此保证树的平衡。在AVL树中进行插入、删除、查找操作的时间复杂度都是O(logn)。

插入操作

AVL树的插入操作需要维护平衡，大致过程如下：

1. 在BST中插入新节点；
2. 计算新节点的高度差h = 左子树高度 - 右子树高度；
3. 如果|h| > 1，即新节点插入后破坏了平衡，则进行旋转操作来重新平衡。

旋转操作分为四种情况，分别是LL旋转、LR旋转、RR旋转和RL旋转。具体实现细节可以参考代码。

代码实现

class Node:
    def __init__(self, val):
        self.val = val
        self.left = None
        self.right = None
        self.height = 0

class AVLTree:
    def __init__(self):
        self.root = None

    def getHeight(self, node):
        if node is None:
            return -1
        else:
            return node.height

    def getBalance(self, node):
        if node is None:
            return 0
        else:
            return self.getHeight(node.left) - self.getHeight(node.right)

    def insert(self, val):
        self.root = self.insertNode(self.root, val)

    def insertNode(self, node, val):
        if node is None:
            return Node(val)
        elif val < node.val:
            node.left = self.insertNode(node.left, val)
        else:
            node.right = self.insertNode(node.right, val)

        node.height = 1 + max(self.getHeight(node.left), self.getHeight(node.right))

        balance = self.getBalance(node)

        # LL旋转
        if balance > 1 and val < node.left.val:
            return self.rightRotate(node)

        # RR旋转
        if balance < -1 and val > node.right.val:
            return self.leftRotate(node)

        # LR旋转
        if balance > 1 and val > node.left.val:
            node.left = self.leftRotate(node.left)
            return self.rightRotate(node)

        # RL旋转
        if balance < -1 and val < node.right.val:
            node.right = self.rightRotate(node.right)
            return self.leftRotate(node)

        return node

    def leftRotate(self, node):
        newRoot = node.right
        node.right = newRoot.left
        newRoot.left = node

        node.height = 1 + max(self.getHeight(node.left), self.getHeight(node.right))
        newRoot.height = 1 + max(self.getHeight(newRoot.left), self.getHeight(newRoot.right))

        return newRoot

    def rightRotate(self, node):
        newRoot = node.left
        node.left = newRoot.right
        newRoot.right = node

        node.height = 1 + max(self.getHeight(node.left), self.getHeight(node.right))
        newRoot.height = 1 + max(self.getHeight(newRoot.left), self.getHeight(newRoot.right))

        return newRoot

总结

AVL树是一种自平衡二叉搜索树，插入操作需要维护平衡，通过旋转操作来重新平衡。AVL树的时间复杂度为O(logn)，适用于需要频繁插入、删除、查找的场景。