具有重复键的 AVL

AVL（Adelson-Velsky和Landis）树是一种自平衡二叉搜索树，具有O(log n)时间复杂度的查找、插入和删除操作。然而，原始的AVL树不支持重复的关键字，因为每个节点都只能有一个关键字作为其标识符。在许多情况下，我们需要支持重复关键字的AVL树。在这种树中，每个节点可以具有多个具有相同关键字的元素。

如何支持重复键？

解决方案是要在每个节点中维护一个元素列表，为具有相同关键字的所有元素创建单个节点，并使用一个计数器来跟踪具有相同关键字的元素的数量。这种方法与哈希表中的解决方案非常相似，它使用数组来存储具有相同哈希值的元素。

使用计数器的优点是具有相同关键字的元素可以按其插入顺序排序。这意味着我们可以按照先进先出原则来处理元素，这是非常有用的。

在这种树中，我们需要对插入和删除操作进行修改，以便正确地管理元素列表。

插入操作

插入新元素时，我们需要按其值插入到正确的位置，并增加节点的计数器。如果找到了具有相同关键字的节点，则我们只需要将元素追加到其元素列表中，并增加计数器。否则，我们需要创建新的节点来存储元素。

当插入新的元素时，我们需要始终保持树的平衡状态。为此，我们需要在每个节点上添加更多的权重信息。对于具有重复键的节点，我们需要在计数器上添加权重。对于普通的AVL节点，我们需要在左右子树的高度之差上加上权重。

以下是Python代码片段，用于在具有重复键的AVL树中插入元素：

class AVLNode:
    def __init__(self, key, value):
        self.key = key
        self.height = 1
        self.count = 1
        self.left = None
        self.right = None
        self.values = [value]

    def add_value(self, value):
        self.values.append(value)
        self.count += 1

class AVLTree:
    def __init__(self):
        self.root = None

    def insert(self, key, value):
        self.root = self._insert(self.root, key, value)

    def _insert(self, node, key, value):
        if not node:
            return AVLNode(key, value)

        if key < node.key:
            node.left = self._insert(node.left, key, value)
        elif key > node.key:
            node.right = self._insert(node.right, key, value)
        else:
            node.add_value(value)
            return node

        node.height = 1 + max(self.get_height(node.left), self.get_height(node.right))

        balance = self.get_balance(node)

        if balance > 1:
            if key < node.left.key:
                return self.right_rotate(node)
            else:
                node.left = self.left_rotate(node.left)
                return self.right_rotate(node)

        if balance < -1:
            if key > node.right.key:
                return self.left_rotate(node)
            else:
                node.right = self.right_rotate(node.right)
                return self.left_rotate(node)

        return node

    def get_height(self, node):
        if not node:
            return 0

        return node.height

    def get_balance(self, node):
        if not node:
            return 0

        return self.get_height(node.left) - self.get_height(node.right)

    def right_rotate(self, node):
        new_root = node.left
        node.left = new_root.right
        new_root.right = node

        node.height = 1 + max(self.get_height(node.left), self.get_height(node.right))
        new_root.height = 1 + max(self.get_height(new_root.left), self.get_height(new_root.right))

        return new_root

    def left_rotate(self, node):
        new_root = node.right
        node.right = new_root.left
        new_root.left = node

        node.height = 1 + max(self.get_height(node.left), self.get_height(node.right))
        new_root.height = 1 + max(self.get_height(new_root.left), self.get_height(new_root.right))

        return new_root

删除操作

删除元素时，我们需要首先找到包含该元素的节点。然后我们要从节点的元素列表中删除元素，并将计数器减少。如果节点的计数器变为零，则我们需要删除该节点，并更新树的平衡状态。

以下是Python代码片段，用于从具有重复键的AVL树中删除元素：

class AVLTree:
    def __init__(self):
        self.root = None

    def delete(self, key, value):
        self.root = self._delete(self.root, key, value)

    def _delete(self, node, key, value):
        if not node:
            return None

        if key < node.key:
            node.left = self._delete(node.left, key, value)
        elif key > node.key:
            node.right = self._delete(node.right, key, value)
        else:
            node.values.remove(value)
            node.count -= 1

            if node.count == 0:
                if not node.left:
                    return node.right
                elif not node.right:
                    return node.left
                else:
                    temp = self.get_min_value_node(node.right)
                    node.key = temp.key
                    node.values = temp.values
                    node.count = temp.count
                    node.right = self._delete(node.right, temp.key, temp.values[0])

        if not node:
            return node

        node.height = 1 + max(self.get_height(node.left), self.get_height(node.right))

        balance = self.get_balance(node)

        if balance > 1:
            if self.get_balance(node.left) >= 0:
                return self.right_rotate(node)
            else:
                node.left = self.left_rotate(node.left)
                return self.right_rotate(node)

        if balance < -1:
            if self.get_balance(node.right) <= 0:
                return self.left_rotate(node)
            else:
                node.right = self.right_rotate(node.right)
                return self.left_rotate(node)

        return node

    def get_min_value_node(self, node):
        current = node

        while current.left:
            current = current.left

        return current

总结

支持重复关键字的AVL树是一种常见的数据结构，用于需要按插入顺序排序的元素集合。通过在每个节点中维护元素列表，并使用计数器来跟踪元素数量，我们可以很容易地支持重复键。AVL树的插入和删除操作需要一些特殊的处理，以正确地处理元素列表和计数器。