插入B树

B树（Balance Tree）是一种多路平衡查找树，相对于二叉查找树而言，B树的每个节点可含有多个关键字，因此能够减少树的深度，从而提高查找效率。

在B树中，每个节点有以下属性：

1. n ：该节点中关键字的个数。
2. 一个长度为n的包含关键字的数组：$key_1,key_2,……,key_n$。
3. 一个长度为(n+1)的指针数组：所指向的子节点分别为 $child_1, child_2,……, child_{n+1}$。

B树的插入操作分两种情况进行处理：

1. 如果插入的关键字key在树中已存在，则什么也不做。
2. 如果插入的关键字key在树中不存在，则先找到插入位置，然后将key插入到叶子节点中。

插入算法

下面是一个基于伪代码的简单的B树插入算法实现：

void insert(B_Tree &T, Key k) {
    if (T为NULL) {
        // 如果B树为空，先创建该节点为根节点。
        T = create_node(); 
        T->key[0] = k;
        T->n = 1;
    } else {
        // 找到待插入关键字的位置。
        if (T中已经存在关键字为k的项) {
            // 如果找到了该关键字，什么也不做。
            return;
        }
        int i = T->n - 1;
        while (i >= 0 && T->key[i] > k) {
            i--;
        }
        i++;
        if (T->child[i] != NULL) {
            insert(T->child[i], k);
            if (T->child[i]->n > T->t-1) {
                // 如果该子节点已满，需要分裂。
                split_child(T, i, T->child[i]);
            }
        } else {
            B_Tree new_node = create_node();
            new_node->n = 1;
            new_node->key[0] = k;
            T->child[i] = new_node;
        }
    }
}

算法主要分为两个部分：

1. 首先找到待插入关键字的位置。
2. 根据该位置，判断是直接将关键字插入到该节点中，还是递归向下继续查找。

在插入时可能会遇到两种情况：

1. 如果该节点已满，需要分裂该节点。
2. 如果该节点是叶子节点，直接插入关键字。

分裂操作

当一个节点已满时，需要把该节点分裂成两个节点，并将其中一部分插入到父节点中。下面是一个基于伪代码的简单的分裂算法实现：

void split_child(B_Tree &T, int i, B_Tree &node) {
    B_Tree new_node = create_node();
    new_node->n = node->t-1;
    for (int j = 0; j < node->t-1; j++) {
        new_node->key[j] = node->key[j+node->t];
    }

    if (node->child[0] != NULL) {
        for (int j = 0; j < node->t; j++) {
            new_node->child[j] = node->child[j+node->t];
        }
    }

    node->n = node->t-1;
    for (int j = T->n; j > i; j--) {
        T->child[j+1] = T->child[j];
    }
    T->child[i+1] = new_node;

    for (int j = T->n-1; j >= i; j--) {
        T->key[j+1] = T->key[j];
    }
    T->key[i] = node->key[node->t-1];
    T->n++;
}

算法主要分为三个部分：

1. 首先创建一个新节点new_node来存放待插入数据。
2. 将node节点的一部分数据和子节点（如果有）移动到new_node节点中。
3. 将new_node节点插入到T节点中，并将node关键字的中位数插入到父节点中。

总结

B树是一种多路平衡查找树，主要用于优化查找效率。在B树中，每个节点可含有多个关键字，并且节点数目相对较少，这意味着B树的平均查找时间复杂度为O(log n)。B树的插入操作相对于普通的二叉查找树会更加复杂，需要考虑节点分裂等情况。因此，对于需要大量查询的场景，B树是一个非常适合的数据结构。