最小化使所有数组元素相等所需的插入和删除成本

有一个整数数组，你需要通过不断的删除或插入元素来使得所有的元素的值都相等。每次删除或插入的成本都相同。计算使得所有元素相等所需的最小成本。

解题思路

首先，我们可以先求出数组的平均值，然后再将每个元素与平均值相减即可得到每个元素需要增加或减少的值。

接着，我们可以利用动态规划来求解最小成本。

设 $dp[i][j]$ 表示将前 $i$ 个元素变为 $j$ 的最小成本。则有以下状态转移方程：

$$ dp[i][j]=\min(dp[i-1][j-k]+cost(i,k)) $$

其中，$cost(i,k)$ 表示将第 $i$ 个元素变为 $k$ 的成本，也就是 $|a[i]-k|$。

我们可以对状态转移方程进行简化，令 $sum[i]$ 表示前 $i$ 个元素的和，则有：

$$ dp[i][j]=dp[i-1][j]+(i-1)(j-a[i])-(sum[i-1]-sum[j-1])+(sum[n]-sum[j-1])-(n-i)(j-a[i]) $$

其中，第一项表示不将第 $i$ 个元素变为 $j$ 的成本，第二项表示将前 $i-1$ 个元素变为 $j$，然后将第 $i$ 个元素变为 $j$ 的成本，第三项表示将前 $j-1$ 个元素变为 $j$ 的成本，第四项表示将后 $n-j$ 个元素变为 $j$ 的成本，最后一项表示不将第 $i$ 个元素变为 $j$ 的成本。

最后，我们求出 $dp[n][j]$ 的最小值即可。

代码实现

以下是 Python 代码的实现：

def min_cost(nums):
    n = len(nums)
    avg = sum(nums) // n
    sum_ = [0] * (n+1)
    for i in range(1, n+1):
        sum_[i] = sum_[i-1] + nums[i-1]
    dp = [[float('inf')] * (avg+1) for _ in range(n+1)]
    dp[0][avg] = 0
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(nums[i-1], avg*n+1):
            for k in range(avg, j-i+2):
                dp[i][j-avg] = min(dp[i][j-avg], dp[i-1][k-avg]+(i-1)*(j-avg-nums[i-1])-(sum_[i-1]-sum_[k-1])+(sum_[n]-sum_[j-1])-(n-i)*(j-avg-nums[i-1]))
    return min(dp[n])

print(min_cost([1,2,3]))
# 输出：2

以上代码时间复杂度为 $O(n^3)$，空间复杂度为 $O(n^2)$。实际上可以通过优化状态转移方程，使时间复杂度降为 $O(n^2)$，空间复杂度降为 $O(n)$，读者可以自己思考一下如何优化。