由前缀的级联和后缀字符串形成的最长回文字符串

在字符串处理中，回文串是常见的问题之一。如何寻找一个字符串的最长回文子串一直是一个有趣的问题，有很多方法可以解决。其中一种方法是利用前缀的级联和后缀字符串形成最长回文字符串。

什么是回文串？

回文串是一个正读和反读都一样的字符串，比如 "level" 或者 "racecar"。

如何寻找最长回文子串？

最长回文子串是指在一个给定的字符串中，最长的、连续的、回文子串。可以使用不同的算法来寻找最长回文子串，包括暴力搜索、中心扩散法、动态规划等。

前缀的级联和后缀字符串

在解决最长回文子串的问题中，还可以利用前缀的级联和后缀字符串来寻找最长回文字符串。具体来说，对于给定字符串 s，我们可以构建一个新的字符串 t， t = s + "#" + s[::-1]。

例如，对于字符串 "abbacabcba"，构建新字符串 t = "abbacabcba#abcacbba"。

在构建出新字符串 t 后，我们可以使用 Manacher 算法或者 Z 算法来寻找最长回文字符串。

Manacher 算法

Manacher 算法是一个线性时间复杂度的算法，用于寻找一个字符串的最长回文子串。它的核心思想是利用回文串的对称性来避免重复计算。

Manacher 算法的具体实现可以参考以下 Python 代码：

def longest_palindrome(string):
    t = string + "#" + string[::-1]
    n = len(t)
    p = [0] * n
    max_len = 0
    center = 0
    for i in range(1, n):
        while t[i - p[i] - 1:i + p[i] + 1] == t[i + p[i - 1] + 1:i - p[i - 1] - 1:-1]:
            p[i] += 1
        if p[i] > max_len:
            max_len = p[i]
            center = i
    start = (center - max_len) // 2
    return string[start: start + max_len]

Z 算法

Z 算法也可以用来寻找一个字符串的最长回文子串。Z 算法的核心思想是利用已知的子串匹配结果来避免重复计算，从而实现线性时间复杂度。

Z 算法的具体实现可以参考以下 Python 代码：

def longest_palindrome(string):
    t = string + "#" + string[::-1]
    n = len(t)
    z = [0] * n
    left, right, center = 0, 0, 0
    max_len, start = 0, 0
    for i in range(1, n):
        if i > right:
            left = right = i
            while right < n and t[right - left] == t[right]:
                right += 1
            z[i] = right - left
            right -= 1
            center = i
        else:
            k = i - left
            if z[k] < right - i + 1:
                z[i] = z[k]
            else:
                left = i
                while right < n and t[right - left] == t[right]:
                    right += 1
                z[i] = right - left
                right -= 1
                center = i
        if z[i] > max_len:
            max_len = z[i]
            start = (i - max_len) // 2
    return string[start: start + max_len]

总结

在寻找最长回文子串的问题中，利用前缀的级联和后缀字符串是一种简单而有效的方法。Manacher 算法和 Z 算法是常见的算法，都是线性时间复杂度。但是，Manacher 算法的实现更为简单，而 Z 算法的实现则更为通用。因此，选择哪种算法，需要根据具体的问题来确定。