二次方程中的判别式

代数可以定义为处理各种数学符号的研究、更改和分析的数学分支。它是对未知量的研究，通常在数学中借助变量来描述。代数有大量的公式和恒等式，用于研究涉及变量的情况。它还有线性代数、高级代数、交换代数等各种分支。

什么是二次方程？

多项式的次数是其中变量的最高幂。二次方程可以定义为次数为 2 的多项式方程。

ax² + bx + c = 0

where a and b are the coefficients, x is the unknown variable and c is the constant, and a ≠ 0.

求解二次方程的判别式

由于二次方程的次数为 2，因此它将有两个解。因此，将存在满足方程的变量 x 的两个值。根据判别式，形式为 ax ² + bx + c = 0 的二次方程有两个根，由下式给出：

$x = \frac{-b±\sqrt{D}}{2a}$, 

where D = b² − 4ac

± 符号表示方程的两个不同解。如果判别式为负，则给定方程没有任何实根。

判别式的推导

它可以通过使用完成平方方法然后求解x的方程来导出。

ax² + bx + c = 0

Divide both sides by a.

⇒ x² + $\frac{b}{a}x + \frac{c}{a}$ = 0

⇒ x² + $\frac{b}{a}x$ = $-\frac{c}{a}$

Add $(\frac{b}{2a})^2$ to both sides.

⇒ x² + $\frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = (\frac{b}{2a})^2 -\frac{c}{a}$

Apply the identity: a² + b² + 2ab = (a + b)²

⇒ $(x+\frac{b}{2a})^2$ = $(\frac{b}{2a})^2 -\frac{c}{a}$

Take square root on both sides.

⇒ x + $\frac{b}{2a}$ = $±\sqrt{(\frac{b}{2a})^2 -\frac{c}{a}}$

⇒ x = $-\frac{b}{2a} ±\sqrt{(\frac{b}{2a})^2 -\frac{c}{a}}$

⇒ x = $\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

示例问题

问题 1. 使用判别式求解 x：x ² = -2x + 2。

解决方案：

Given: x² = −2x + 2 or,  x² + 2x − 2 = 0

According to discriminant formula, x = $\frac{-b±\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}$

Here, a = 1,  b = 2, c = −2.

⇒  x = $\frac{-2±\sqrt{(2^2-4(1)(-2))}}{2(1)}$

⇒  x = $\frac{-2+\sqrt{4+8}}{2}$

⇒  x = (−1 + √3),(−1 – √3).

问题 2. 使用判别公式求解 y：2y ² − 8y − 10 = 0。

解决方案：

Given: 2y² − 8y − 10 = 0

According to discriminant formula, $y = \frac{-b±\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}$

Here, a = 2,  b = −8, c = −10.

⇒  y = $\frac{8±\sqrt{((-8)^2-4(2)(-10))}}{2(2)}$

⇒  y = $\frac{8±\sqrt{144}}{2(2)}$

⇒  y = 4, −1.

问题 3. 使用判别公式求解 x：2x ² − 7x + 3 = 0。

解决方案：

Given: 2x² − 7x + 3 = 0

According to discriminant formula, x = $\frac{-b±\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}$

Here, a = 2,  b = −7, c = 3.

⇒  x = $\frac{7±\sqrt{(-7)^2-4(2)(3)}}{2(2)}$

⇒  x = $\frac{7±5}{4}$

⇒  x = 3, 1/2.

问题 4. 使用判别式求解 x：x ² − 2x + 3 = 0。

解决方案：

Given: x² − 2x + 3 = 0

According to discriminant formula, x = $\frac{-b±\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}$

Here, a = 1,  b = −2, c = 3.

⇒  x = $\frac{2±\sqrt{(-2)^2-4(1)(3)}}{2(1)}$

⇒  x = $\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$

Since the value of the discriminant is less than zero (D = −8 < 0), the given quadratic equation has no real solution.

问题 5. 使用判别式求解 x：x ² + 5x + 4 = 0。

解决方案：

Given: x² + 5x + 4 = 0

According to discriminant formula, x = $\frac{-b±\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}$

Here, a = 1,  b = 5, c = 4.

⇒  x = $\frac{-5±\sqrt{(5)^2-4(1)(4)}}{2(1)}$

⇒  x = $\frac{-5±3}{2}$

⇒  x = -1, -4.

问题 6. 使用判别式求解 x: 6x ² − x − 15 = 0。

解决方案：

Given: 6x² − x − 15 = 0

According to discriminant formula, x = $\frac{-b±\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}$

Here, a = 6,  b = −1, c = −15.

⇒  x = $\frac{1±\sqrt{(-1)^2-4(6)(-15)}}{2(6)}$

⇒  x = $\frac{1±19}{12}$

⇒  x = 5/3, −3/2.

问题 7. 使用判别式求解 x：x ² + 4x + 9 = 0。

解决方案：

Given: x² + 4x + 9 = 0

According to discriminant formula, x = $\frac{-b±\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}$

Here, a = 1,  b = 4, c = 9.

⇒  x = $\frac{-4±\sqrt{(4)^2-4(1)(9)}}{2(1)}$

⇒  x = $\frac{-4±\sqrt{-20}}{2}$

Since the value of the discriminant is less than zero (D = −20 < 0), the given quadratic equation has no real solution.