以2为基数到N的所有底数的数字N的数字总和

在计算机科学和离散数学中，数位（digit）是一个数字中一个特定的数字符号。比如，在数字123中，数位1、数位2和数位3分别代表数字的百位、十位和个位。在本题中，我们要计算从 2 到给出的 N 中，用 2 为底数的所有数的数字总和，其中 N 是一个正整数。

思路

对于给定的 N，我们需要计算从数字2到数字N中，对于每个数字k，用以2为底数的k的数字总和。我们可以先计算用2为底数的数字1~2的数字总和，即1+2=3。接着，我们计算用2为底数的数字3~4的数字总和，即3+4=7。然后，我们计算用2为底数的数字5~8的数字总和，即5+6+7+8=26。我们可以以此类推，不断将范围缩小，并计算每个范围内数字的数字总和，直到范围缩小到只有一个数字。最终，我们将每个范围的数字总和相加即可得到结果。

伪代码

def get_digit_sum(n):
    if n == 0:
        return 0
    else:
        return n % 10 + get_digit_sum(n // 10)

def get_sum(n):
    if n == 2:
        return 3
    else:
        k = int(math.log(n, 2))
        sum = (2 ** k - 1) * k
        sum += (n - 2 ** k + 1) * (k + 1)
        for i in range(2, k):
            p = 2 ** i
            q = 2 ** (i + 1) - 1
            if p <= n <= q:
                sum += get_sum(n - p + 1)
        return sum

n = 10
print(get_sum(n))

代码解释

我们首先定义了一个函数 get_digit_sum(n)，用于计算一个数字的数字总和。该函数通过递归的方式不断地获取一个数字的最后一位，并将其从数字中去掉，然后将其与剩余数字的数字总和相加，直到数字被取完。

接着，我们定义了另一个函数 get_sum(n)，用于计算从数字2到数字n中，用以2为底数的数字的数字总和。在该函数中，我们使用了 math 模块中的 log() 函数获取了数字n在以2为底数的幂中的指数k。接着，我们通过数学计算得到了从2到2的k次幂-1这一范围内用以2为底数的数字的数字总和。接着，我们计算了从2的k次幂到n这一范围内用以2为底数的数字的数字总和。最后，我们使用递归计算了其他范围的数字的数字总和，并将所有范围的数字总和相加得到结果。

返回结果

有关本算法的详细解释和代码实现，可以参考以下链接：

以2为基数到N的所有底数的数字N的数字总和