红黑树 | 自顶向下插入

简介

红黑树是一种自平衡的二叉查找树，保证了在最坏情况下的基本动态操作的时间复杂度为 O(log n)。其中，自顶向下插入是一种常见的红黑树的构建方法。

红黑树的性质

红黑树主要有以下五个性质：

1. 每个节点要么是红色的，要么是黑色的。
2. 根节点是黑色的。
3. 每个叶子节点（NIL节点，空节点）是黑色的。
4. 如果一个节点是红色的，则它的两个子节点都是黑色的。
5. 对于每个节点，从该节点到其所有后代叶子节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点。

自顶向下插入算法

自顶向下插入算法是红黑树中最简单的一种构建方法，其具体实现如下：

def insert(node, key):
    if node is None:
        return Node(key)
    elif key < node.key:
        node.left = insert(node.left, key)
    else:
        node.right = insert(node.right, key)

    node = balance(node)
    return node

在插入节点时，如果节点为空，则直接将其插入为新节点，并将其颜色设置为红色。否则，如果插入的节点值小于当前节点的值，则继续向当前节点的左子树中插入；否则，向当前节点的右子树中插入。

在插入完成后，通过调用 balance(node) 函数来自下而上地进行自平衡操作。其中，balance(node) 函数的实现方式有很多种，这里采用了 LLRB（左倾红黑树）的实现方式。

balance(node) 函数

balance(node) 函数用于维护节点的平衡状态，具体实现如下：

def balance(node):
    # Case 1: 当前节点的右节点为红色，左节点为空或黑色
    if is_red(node.right) and not is_red(node.left):
        node = rotate_left(node)

    # Case 2: 当前节点的左节点和左节点的左节点均为红色
    if is_red(node.left) and is_red(node.left.left):
        node = rotate_right(node)

    # Case 3: 当前节点的左节点和右节点均为红色
    if is_red(node.left) and is_red(node.right):
        flip_colors(node)

    return node

在 balance(node) 函数中，主要通过三种情况的自平衡操作来维护节点的平衡状态。具体来说：

1. 当当前节点的右节点为红色，而左节点为空或为黑色时，需要对当前节点进行左旋操作（rotate_left(node)），以使其满足红黑树的性质。
2. 当当前节点的左节点和左节点的左节点均为红色时，需要对当前节点进行右旋操作（rotate_right(node)），以使其满足红黑树的性质。
3. 当当前节点的左节点和右节点均为红色时，需要进行翻转颜色（flip_colors(node)）操作，以使其满足红黑树的性质。

具体实现

完整的自顶向下插入算法的实现示例代码如下：

class Node:
    def __init__(self, key):
        self.key = key
        self.left = self.right = None
        self.color = RED

RED = True
BLACK = False

def is_red(node):
    if node is None:
        return False
    return node.color == RED

def flip_colors(node):
    node.color = not node.color
    node.left.color = not node.left.color
    node.right.color = not node.right.color

def rotate_left(node):
    new_node = node.right
    node.right = new_node.left
    new_node.left = node
    new_node.color = node.color
    node.color = RED
    return new_node

def rotate_right(node):
    new_node = node.left
    node.left = new_node.right
    new_node.right = node
    new_node.color = node.color
    node.color = RED
    return new_node

def insert(node, key):
    if node is None:
        return Node(key)
    elif key < node.key:
        node.left = insert(node.left, key)
    else:
        node.right = insert(node.right, key)

    node = balance(node)
    return node

def balance(node):
    if is_red(node.right) and not is_red(node.left):
        node = rotate_left(node)

    if is_red(node.left) and is_red(node.left.left):
        node = rotate_right(node)

    if is_red(node.left) and is_red(node.right):
        flip_colors(node)

    return node

总结

自顶向下插入算法是红黑树中最简单的一种构建方法，同时也是实现较为容易的一种方法。通过合适的自平衡调整操作，该算法可以保证红黑树的平衡性和时间复杂度。