红黑树|设置1(简介)

介绍：

红黑树是一种自平衡二进制搜索树，其中的每个节点都有一个额外的位，该位通常被解释为颜色(红色或黑色)。这些颜色用于确保树在插入和删除过程中保持平衡。尽管树的平衡不是完美的，但足以减少搜索时间并将其维持在O(log n)时间左右，其中n是树中元素的总数。这棵树是鲁道夫·拜耳(Rudolf Bayer)于1972年发明的。

必须注意的是，由于每个节点仅需要1位空间来存储颜色信息，因此这些类型的树显示出与经典(无色)二进制搜索树相同的内存占用量。

每棵红黑树遵循的规则：

1. 每个节点都有红色或黑色。
2. 树的根始终是黑色的。
3. 没有两个相邻的红色节点(红色节点不能有红色父节点或红色子节点)。
4. 从节点(包括根)到其任何后代NULL节点的每条路径都具有相同数量的黑色节点。

为什么是红黑树?

大多数BST操作(例如，搜索，最大，最小，插入，删除等)花费O(h)时间，其中h是BST的高度。对于偏斜的二叉树，这些操作的成本可能变为O(n)。如果确保每次插入和删除后树的高度都保持O(log n)，则可以保证所有这些操作的O(log n)上限。红黑树的高度始终为O(log n)，其中n是树中的节点数。

Sr. No.	Algorithm	Time Complexity
1.	Search	O(log n)
2.	Insert	O(log n)
3.	Delete	O(log n)

“ n”是红黑树中元素的总数。

与AVL树的比较：

与红黑树相比，AVL树更加平衡，但是它们可能会在插入和删除过程中引起更多旋转。因此，如果您的应用程序涉及频繁的插入和删除操作，则应优先选择Red-Black树。而且，如果插入和删除操作的频率较低，而搜索操作的频率较高，则应优先使用AVL树而不是红黑树。

红黑树如何确保平衡?

一个简单的理解平衡的示例是，在红黑树中不可能有3个节点的链。我们可以尝试颜色的任意组合，并查看它们全部违反了Red-Black树的属性。

A chain of 3 nodes is not possible in Red-Black Trees. 
Following are NOT Red-Black Trees
        30             30               30       
       / \            /  \             /  \
     20  NIL         20   NIL         20   NIL
    / \             / \              /  \   
  10  NIL          10  NIL          10  NIL  
Violates          Violates        Violates
Property 4.      Property 4       Property 3 

Following are different possible Red-Black Trees with above 3 keys
         20                           20
       /   \                        /   \
     10     30                    10     30
    /  \   /  \                 /  \    /  \
 NIL  NIL NIL NIL             NIL  NIL NIL NIL

关于红黑树的有趣之处：

1. 红黑树的黑色高度是指从根节点到叶节点的路径上的黑色节点数。叶节点也被视为黑色节点。因此，高度为h的红黑树的黑色高度> = h / 2。
2. 具有n个节点的红黑树的高度为h <= 2 log ₂ (n + 1)。
3. 所有叶子(NIL)均为黑色。
4. 节点的黑色深度定义为从根到该节点的黑色节点的数量，即黑色祖先的数量。
5. 每棵红黑树都是二叉树的特例。

一棵红黑树的黑高：

黑色高度是指从根到叶的路径上黑色节点的数量。叶节点也算为黑色节点。从上面的属性3和4中，我们可以得出高度为h的红黑树的black-height> = h / 2 。

Number of nodes from a node to its farthest descendant leaf is no more than twice as the number of nodes to the nearest descendant leaf.

每个具有n个节点的红黑树的高度<= 2Log ₂ (n + 1)
可以使用以下事实证明这一点：

1. 对于一般的二叉树，令k为所有根到NULL路径上的最小节点数，则n> = 2 ^k – 1(例如，如果k为3，则n至少为7)。该表达式也可以写成k <= Log ₂ (n + 1)。
2. 从红黑树的属性4以及以上声明，我们可以说在一个具有n个节点的红黑树中，存在一个根到叶路径的根，该路径最多具有Log ₂ (n + 1)个黑节点。
3. 从红黑树的属性3中，我们可以说红黑树中的黑节点数至少为⌊n / 2⌋，其中n是节点总数。

从以上几点，我们可以得出结论，具有n个节点的Red Black Tree的高度<= 2Log ₂ (n + 1)

红黑树中的搜索操作：

由于每个红黑树都是二叉树的特例，因此红黑树的搜索算法与二叉树的搜索算法相似。

算法：

searchElement (tree, val)
Step 1:
If tree -> data = val OR tree = NULL
    Return tree
Else
If val  data
        Return searchElement (tree -> left, val)
    Else
        Return searchElement (tree -> right, val)
    [ End of if ]
[ End of if ]

Step 2: END

对于该程序，您可以将其引用为AVL tree 。

示例：在下面的红黑树中搜索11。

解决方案：

1. 从根开始。
2. 将插入元素与根进行比较，如果小于根，则向左递归，向右递归。
3. 如果在任何位置都可以找到要搜索的元素，则返回true，否则返回false。

只需跟随蓝色气泡即可。

在这篇文章中，我们介绍了红黑树，并讨论了如何确保平衡。困难的部分是添加和删除键时要保持平衡。我们还看到了如何从红黑树中搜索元素。我们将很快在Red-Black树上即将发布的帖子中讨论插入和删除操作。

锻炼：

1)是否有可能将所有黑色节点都放在一棵红黑树中?
2)画一棵不是AVL树结构的红黑树吗?

插入和删除

红黑树插入
红黑树删除

应用范围：

1. 大多数自平衡BST库功能(例如，在C++中使用map和set( JavaOR TreeSet和TreeMap))都使用Red-Black Tree。
2. 它用于实现Linux的CPU调度。完全Fair Scheduler会使用它。
3. 此外，它们还用于K均值聚类算法中，以减少时间复杂度。
4. 此外，MySQL还使用Red-Black树作为表上的索引。

参考：

• 算法入门第三版，作者：Clifford Stein，Thomas H. Cormen，Charles E. Leiserson，Ronald L. Rivest
• http://en.wikipedia.org/wiki/Red%E2%80%93black_tree
• Tim Roughgarden在红黑树上的视频讲座
• 麻省理工学院关于红黑树的视频讲座
• 麻省理工学院关于红黑树的讲义