证明有限群的元素是有限的

根据群的定义，一个群 $G$ 必须满足以下四个条件：

1. 封闭性：对于任意 $a, b \in G$，$a \ast b \in G$。
2. 结合性：对于任意 $a, b, c \in G$，$(a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)$。
3. 单位元：存在一个元素 $e \in G$，使得对于任意 $a \in G$，$e \ast a = a \ast e = a$。
4. 逆元：对于任意 $a \in G$，存在一个元素 $b \in G$，使得 $a \ast b = b \ast a = e$。

现在假设群 $G$ 的元素是无限的，记 $g_1, g_2, g_3, \dots$ 是 $G$ 的元素。

根据条件 3，必须存在一个单位元素 $e \in G$，使得 $e \ast g_1 = g_1 \ast e = g_1$，类似地，$e \ast g_2 = g_2 \ast e = g_2$，以此类推。因此我们可以写出下面的乘法表：

| $\ast$ | $g_1$ | $g_2$ | $g_3$ | $\dots$ | |-------|-------|-------|-------|---------| | $e$ | $g_1$ | $g_2$ | $g_3$ | $\dots$ | | $g_1$ | | | | | | $g_2$ | | | | | | $g_3$ | | | | | | $\vdots$ | | | | |

对于表中未填的部分，我们只需要根据封闭性和结合性来填充即可。例如，$g_1 \ast g_2$ 必须是 $G$ 中的元素，因此它一定等于 $g_i$ 中的某一个元素，可以是 $g_1$，$g_2$，$g_3$，或者其它。又因为群 $G$ 中没有重复的元素，所以这个表不能有任何重复的元素。

现在考虑在这个表中选择某一行或某一列。不妨选择第一行。因为群 $G$ 中的每个元素都必须至少在一行中出现，所以第一行必须包含所有 $g_i$。

然而这与假设 $G$ 的元素是无限的矛盾。因为 $G$ 中元素是无限的，所以我们可以找到一个无限长的、包含所有 $g_i$ 的序列 $g_1, g_2, g_3, \dots$，它们在第一行中必须出现。

因此，假设 $G$ 的元素是无限的是错误的，$G$ 的元素必须是有限的。

代码片段：

def is_finite_group(G):
    """
    判断群 G 是否是有限群
    """
    elements = set(G)
    for a in elements:
        for b in elements:
            if a * b not in elements:
                return False
    return True

上述代码实现了一个判断群是否是有限群的函数。它首先检查群中的所有元素对于群运算是否都是封闭的，然后返回是否满足有限群的条件。