带输出的有限自动机（第 5 组）

有限自动机是一种对于输入变量的序列有某种反应的数学模型。而带输出的有限自动机则在有限自动机的基础上增加了输出功能。它可以根据输入序列，在状态之间进行转换，并输出结果。这种模型在模式匹配、语法分析、数字规划等计算机科学问题中有着广泛的应用。

什么是有限自动机？

有限自动机是一种理论模型，用于描述在有限的状态之间进行转换的系统。这种模型有三个基本部分：状态集合、输入字母表和状态转移函数。其原理为：在任意时刻，该系统都处于一个特定的状态，接收一个特定的输入符号，执行一个状态转移，并发出一个特定的输出符号。这些状态转移和输出由状态转移函数所决定。该系统可以被用来识别与匹配输入字符串。

下面是一个简单的有限自动机的示例，它可以识别一个二进制数的奇偶性。

class FiniteStateMachine:
  def __init__(self, states, alphabet, transition_function, start_state, accept_states):
    self.states = states
    self.alphabet = alphabet
    self.transition_function = transition_function
    self.start_state = start_state
    self.accept_states = accept_states

  def run(self, input_string):
    current_state = self.start_state
    for input_symbol in input_string:
      current_state = self.transition_function(current_state, input_symbol)
    return current_state in self.accept_states

def transition_function(state, input_symbol):
  if state == "even" and input_symbol == "0":
    return "even"
  elif state == "even" and input_symbol == "1":
    return "odd"
  elif state == "odd" and input_symbol == "0":
    return "odd"
  elif state == "odd" and input_symbol == "1":
    return "even"

# Create the state machine
states = {"even", "odd"}
alphabet = {"0", "1"}
start_state = "even"
accept_states = {"even"}
fsm = FiniteStateMachine(states, alphabet, transition_function, start_state, accept_states)

# Test the state machine
print(fsm.run("1010")) # False
print(fsm.run("1011")) # True

在上面的示例中，我们定义了一个有限自动机，它有两个状态（偶数和奇数），接受 0 和 1 两个输入符号，并通过 transition_function() 方法执行状态转换。该函数采用两个参数（状态和输入符号）并根据当前状态和输入符号返回一个新的状态。该自动机从“偶数”状态开始，只接受一个偶数长度的二进制数，并在输入结束后返回一个布尔值（True 表示偶数，False 表示奇数）。

什么是带输出的有限自动机？

带输出的有限自动机增加了输出功能，即在状态转移过程中输出某些信息。这种模型可以看做是一个元素为（状态，输出）二元组的序列。当自动机接收到输入序列时，它通过状态转移函数计算出由输入序列生成的输出序列。

下面是一个带输出的有限自动机的示例，它计算给定二进制数的十进制值。该自动机的每个状态表示二进制值，并在每个状态中输出该二进制值的十进制表示。该自动机从“0”状态开始，读取给定的二进制数，每读取一个二进制位就乘以 2 并加上该二进制位。

class FiniteStateMachine:
  def __init__(self, states, alphabet, transition_function, start_state, accept_states):
    self.states = states
    self.alphabet = alphabet
    self.transition_function = transition_function
    self.start_state = start_state
    self.accept_states = accept_states

  def run(self, input_string):
    current_state = self.start_state
    output = ""
    for input_symbol in input_string:
      current_state, symbol_output = self.transition_function(current_state, input_symbol)
      output += symbol_output
    return int(output), current_state in self.accept_states

def transition_function(state, input_symbol):
  value = int(state, 2) * 2 + int(input_symbol)
  new_state = bin(value)[2:]
  output_symbol = str(value)
  return new_state, output_symbol

# Create the state machine
states = {bin(x)[2:].zfill(3) for x in range(8)}
alphabet = {"0", "1"}
start_state = "000"
accept_states = {"000", "001", "010", "011", "100", "101", "110", "111"}
fsm = FiniteStateMachine(states, alphabet, transition_function, start_state, accept_states)

# Test the state machine
print(fsm.run("1101")) # (13, True)

在上面的示例中，我们定义了一个带输出的有限自动机，它有 8 个状态（二进制值 000，001，010，011，100，101，110 和 111），接受 0 和 1 两个输入符号，并通过 transition_function() 方法执行状态转换。该函数采用两个参数（状态和输入符号）并根据当前状态和输入符号返回一个新的状态和一个新的输出符号。该自动机从“000”状态开始，并读取给定的二进制数。每读取一个二进制位就乘以 2 并加上该二进制位，然后输出该二进制值的十进制表示，并根据计算出的值转换到下一个状态。当输入结束后，该自动机返回二进制值的十进制表示和一个布尔值（True 表示这是一个接受状态，False 表示这不是一个接受状态）。

总结

带输出的有限自动机是对于有限自动机的扩展，增加了输出功能。它可以根据输入序列，在状态之间进行转换，并输出结果。该模型在模式匹配、语法分析、数字规划等计算机科学问题中有着广泛的应用。为了构建一个有限自动机，我们需要定义状态集合、输入符号集合和状态转移函数，以及初始状态和接受状态。我们还可以通过带输出的有限自动机计算出输入序列的输出。