正则表达式到有限自动机的转换

由于可以使用状态消除法从有限自动机构造正则表达式，因此可以使用反向方法、状态分解法从给定的正则表达式构造有限自动机。

注意：此方法将为给定的正则表达式构造 NFA（带或不带 ε 转换，取决于表达式），可以使用 NFA 到 DFA 的转换进一步将其转换为 DFA。

状态分解法

定理：由正则表达式定义的每种语言也由有限自动机定义。

证明：假设对于正则表达式 R，L = L(R)。我们证明对于一些 ε-NFA M，L = L(M)：

1)正是一种接受状态。

2)在初始状态没有传入边。

3)在接受状态下没有出边。

证明是通过对 R 的结构归纳按照以下步骤完成的：

第 1 步：创建一个起始状态，例如 q ₁和一个最终状态，例如 q ₂ 。将转换 q ₁到 q ₂标记为给定的正则表达式 R，如图 1 所示。但是，如果 R 是 (Q) ^* ，Kleene 对另一个正则表达式 Q 的闭包，则创建一个初始状态，这也将是最终状态，如图2。

图。1

图2

步骤2：重复以下规则（状态分解法），首先考虑最小优先级正则表达式运算符，直到表达式中没有运算符符为止。正则表达式中运算符的优先级定义为 Union < Concatenation < Kleene's Closure。

联合运算符(+)可以通过在两个状态之间引入平行边来消除，如下所示。

图 3：Union Operator 的移除

连接运算符（'.' 或根本没有运算符）可以通过在状态之间引入新状态来消除，如下所示。

图 4：移除连接运算符

Kleene 闭包 (*)可以通过基于以下条件在状态上引入自环来消除：

1.如果最左边的状态只有一个出边，即A在A->B的转移，则在状态A上引入自环，将边A到B标记为ε-转移，如图5.

图 5

2.否则，如果在最右边的状态只有一个输入边，即 B 在转换 A -> B 中，则在状态 B 上引入自循环并将边 A 标记为 B 为 ε-transition，如图所示图 6。

图 6

3.否则，在两个状态之间引入一个新状态，将自环标记为表达式。新状态将与之前的状态进行 ε-转换，如下所示，如图 7 所示。

图 7

例子：

为正则表达式构造有限自动机， R = (ab + ba) ^*

解决方案：

第 1 步：由于给定表达式 R 的形式为 (Q) ^* ，因此我们将创建一个初始状态，该状态也将是最终状态，具有标记为 (ab + ba) 的自环，如图所示8.（参考上面的图2）

图 8

第2步：
 
A.由于表达式中的最低优先级运算符是 union(+)。因此，我们将为“ab”和“ba”引入平行边（此处为平行自环），如图 9 所示。

图 9

B.现在我们有两个带有连接运算符的标签（两个变量之间没有提到的运算符是连接），因此我们通过引入新状态 q ₁和 q ₂来将它们一一删除，如图 10 和图 11 所示。（参见图4以上）

图 10

图 11

第 3 步：由于没有剩余的运算符，我们可以说图 11 是所需的有限自动机（NFA）。