求中心在 (0,4)、焦点在 (8,4)、顶点在 (6, 7) 的椭圆的方程

圆锥截面，通常称为圆锥曲线，是在平面与圆锥相交时创建的。这些部分相交的角度决定了它们的几何形状。因此，圆锥截面分为四种类型：圆、椭圆、抛物线和双曲线。这些类型中的每一种都以其独特的数学属性和方程式集而著称。椭圆将在下面详细解释。

椭圆

椭圆是当平面以小于直角但大于圆锥顶点所成角度 (α) 的角度 (β) 与圆锥相交时生成的圆锥截面。换句话说，当平面以角度 β 切割圆锥体时生成椭圆，使得 α<β<90 ^o 。

如上图所示，锥体和平面以小于直角但大于在锥体顶点处形成的角度的角度相交，从而由于相交而形成椭圆。

椭圆方程

• 以 (h, k) 为中心且长轴平行于 x 轴的椭圆的标准方程由下式给出：

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$, 

where the coordinates of the vertex are (h±a, 0), coordinates of co-vertex are (h, k±b) and the coordinates of foci are (h±c, k), where c² = a² – b².

水平椭圆

• 以 (h, k) 为中心且长轴平行于 y 轴的椭圆的标准方程由下式给出：

$\frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(y-k)^2}{a^2}=1$, 

where the coordinates of the vertex are (h, k±a), coordinates of co-vertex are (h±b, k) and the coordinates of foci are (h, k±c), where c² = a² – b².

垂直椭圆

找到中心在 (0,4)、焦点在 (8,4)、顶点在 (6, 7) 的椭圆的方程。

解决方案：

To find the equation of an ellipse, we need the values a and b.

The distance between the center (0, 4) and the focus (8, 4) gives c.

So, c² = (8 – 0)² + (4 – 4)²

c² = 64

The distance between the center (0, 4) and the vertex (6, 7) gives a.

So, a² = (6 – 0)² + (7 – 4)² 

a² = 36 + 9

a² = 45

Put the obtained values in the formula c² = a² – b² to find b.

b² = 64 – 45

b² = 19

As the y-coordinates of center and focus are same, ellipse lies on x-axis. So the equation is of the form $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

Hence the required equation of the ellipse is, $\frac{x^2}{45}+\frac{(y-4)^2}{19}=1$ 

类似问题

问题 1. 找出位于 y 轴上、中心在 (0,7)、长轴长度为 12 个单位、短轴长度为 16 个单位的椭圆的方程。

解决方案：

The length of major axis is, 2a = 12 => a = 6.

The length of minor axis is, 2b = 16 => b = 8.

As the ellipse lies on y-axis, the equation is $\frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(y-k)^2}{a^2}=1$ 

So, the equation is $\frac{x^2}{64}+\frac{(y-7)^2}{36}=1$.

问题 2. 求一个椭圆方程，它位于 x 轴上，中心在 (3,2)，长轴长度为 2 个单位，短轴长度为 8 个单位。

解决方案：

The length of major axis is, 2a = 2 => a = 1.

The length of minor axis is, 2b = 8 => b = 4.

As the ellipse lies on x-axis, the equation is $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

So, the equation is $(x-3)^2+\frac{(y-2)^2}{16}=1$.

问题 3. 用焦点 (0, 6) 和短轴 (8, 0) 找到椭圆长轴的坐标。

解决方案：

We have, c = 6 and b = 8.

Put these in c² = a² – b² to find a.

a² = 6² + 8²

a² = 100

a = 10

The coordinates of major axis are (0, ±10).

问题 4. 找出以 (7, 2) 为中心且 c = 3 且 b = 4 的椭圆的方程。

解决方案：

Given b = 4, c = 3, h = 7 and k = 2.

Put these in the formula c² = a² – b² to find a.

a² = 4² + 3²

a² = 25

a = 5

As the ellipse lies on x-axis, the equation is of the form $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

So, the equation is, $\frac{(x-7)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{16}=1$

问题 5. 如果 a = 12，b = 6，并且短轴平行于 x 轴，则求以原点为中心的椭圆方程。

解决方案：

The minor axis is parallel to x-axis, so the ellipse lies on y-axis.

The equation is of the form $\frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(y-k)^2}{a^2}=1$.

Here a = 12 and b = 6, h = 0 and k = 0.

So, the equation becomes,

$\frac{(x-0)^2}{6^2}+\frac{(y-0)^2}{12^2}=1$

$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{144}=1$