椭圆

圆锥截面是从圆锥截面产生的图形或曲线。当我们用一个平面以不同的角度切割圆锥体时，会产生不同的曲线。椭圆也是圆锥曲线部分的一部分。其他圆锥部分包括–圆形，抛物线，双曲线等。例如，我们在生活中的很多地方都遇到椭圆形–例如橄榄球或鸡蛋呈椭圆形，投影到2d时会呈椭圆形。行星运动也是椭圆的另一个例子。行星以椭圆形绕太阳公转。对我们来说，研究椭圆以解决这些问题至关重要。让我们介绍椭圆并详细查看其属性。

椭圆介绍

椭圆是平面中的一组点，其与平面中两个固定点的距离之和是恒定的。这两个固定点称为椭圆的焦点。下图显示了两个固定点，并显示了如何从这些点跟踪椭圆。

A ₁ F ₁ + A ₁ F ₂ = A ₂ F ₁ + A ₂ F ₂ = A ₃ F ₁ + A ₃ F ₂

Note: The constant distance that is mentioned above should always be less than the distance between the two focal points. 

下图显示了椭圆的标记图。

连接并经过两个焦点的线段称为主轴线。两个焦点之间的线段的中点称为椭圆的中心。垂直于长轴并穿过椭圆中心的线称为短轴。端点 切割椭圆的主轴的长度称为椭圆的顶点。

假设长轴的长度为2a，而短轴的长度为2b。两个焦点之间的距离定义为2c。下图显示了轴及其长度。

进一步的章节介绍了椭圆的性质和方程。

大，小轴之间的关系

我们在前面的部分中定义了长轴和短轴。现在浮现在脑海中的问题是，它们是否以某种方式彼此关联?椭圆有什么特殊情况吗?首先，让我们建立长轴和短轴之间的关系。

Consider point A. The distance of A from the two Centre is, 

AF₁ + AF₂ = OF₁ + OA + AF₂

                     = c + a + a – c = 2a

From point B on the minor axis. 

F₁B + F₂B = $2\sqrt{b^2 + c^2}$

We know from the definition of the ellipse that, 

AF₁ + AF₂ = F₁B + F₂B

$2a = 2\sqrt{b^2 + c^2}\\ a = \sqrt{b^2 + c^2}$

偏心率

The eccentricity of an ellipse is the ratio of the distances from the Centre of the ellipse to one of the foci and to one of the vertices of the ellipse

$e = \frac{c}{a}$

椭圆方程

下图表示一个标准椭圆，其中F ₁和F ₂为焦点，O为线段F ₁ F ₂的中点。假设在椭圆P(x，y)上有一个点。我们知道，

PF ₁ + PF ₂ = 2a

我们将使用距离公式替换BF _1， BF ₂的值。

$\sqrt{(x +c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a \\ \sqrt{(x +c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x-c)^2 + y^2}$

Squaring both sides,

(x +c)² + y² = 4a² + (x-c)² + y² + 2y(x-c) 

x² + c²+ 2xc + y² = 4a² + x² + c² + -2xc + y² + 2xy – 2yc

Upon Simplification,

$\\ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

下图表示椭圆的其他可能情况。

这个椭圆的等式为

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

直肠

这是一条穿过两个焦点并垂直于主轴线的线段。它的末端位于与椭圆的相交处。_{令AF 2}的长度为l。

现在，A的坐标将为(c，l)。现在我们知道A位于椭圆上，因此它将满足椭圆的方程。

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \\ \frac{c^2}{a^2} + \frac{l^2}{b^2} = 1 \\ \text{We know, c = ae} \\ e^2 + \frac{l^2}{b^2} = 1 \\ l^2 = b^2 (1 - e^2) \\ l = b\sqrt{1 - e^2}\\$

样本问题

问题1：如果长轴的端点位于(-10,0)和(10,0)上，而短轴的端点位于(0，-5)和(0,5)上，则找到椭圆方程。

解决方案：

Since the major axis is x-axis, the ellipse equation should be, 

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

2a = 20 

⇒a = 10 

2b = 10 

⇒b = 5

$\frac{x^2}{10^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1$

问题2：找到以原点为中心，x轴为长轴的椭圆方程。假设两个焦点之间的距离为10cm，则e = 0.4和b = 4cm

解决方案：

Standard equation of the ellipse is, 

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

We know b = 4, e = 0.4 and c = 10. 

$c = ae \\ 10 = a(0.4) \\ 25 = a$

Thus, now we have a = 25 and b = 4 

So, the equation of ellipse is, 

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \\ \frac{x^2}{25^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1$

问题3：找到一个椭圆的方程，该椭圆的长轴为40cm，焦点位于(5,0)和(-5,0)上。

解决方案：

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1$

a = $\frac{40}{2} = 20$

We know c = 10

 c² = a² – b² 

10² = 20² – b²

 b² = 20² – 10²

b² = 300

Thus, the equation becomes, 

$\frac{x^2}{400} + \frac{x^2}{300} = 1$

问题4：找到一个椭圆的方程，该椭圆的长轴为40cm，焦点位于(0,5)和(0，-5)上。

解决方案：

Since the foci lie on y-axis. The major axis is on y-axis. Thus, the ellipse is of the form, 

$\frac{x^2}{b^2} + \frac{x^2}{a^2} = 1$

a = $\frac{40}{2} = 20$

We know c = 10

 c² = a² – b² 

10² = 20² – b²

 b² = 20² – 10²

b² = 300

Thus, the equation becomes, 

$\frac{x^2}{300} + \frac{x^2}{400} = 1$

问题5：如果长轴是x轴，短轴是y轴，并且(4,3)和(-1,4)位于椭圆上，则找到椭圆的方程。

解决方案：

Standard equation of the ellipse is, 

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

These points must satisfy the equation. (4,3) and (-1, 4). 

$\frac{4^2}{a^2} + \frac{(-3)^2}{b^2} = 1 \\ \frac{16}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1 \\$

$\frac{(-1)^2}{a^2} + \frac{4^2}{b^2} = 1 \\ \frac{1}{a^2} + \frac{16}{b^2} = 1 \\$

Let’s say, $x = \frac{1}{a} \text{ and } y = \frac{1}{b}$

16x + 9b = 1 

x + 16b = 1

Solving the equations, 

We find that $a = \frac{247}{7} \text{ and } b = \frac{247}{15}$