可以删除的最大元素数，以使给定数组的MEX保持不变

问题描述

给定一个长度为 $N$ 的非负整数数组 $A$，数组中可能存在重复元素。定义数组 $A$ 的 $\text{MEX}$ 为未出现在数组 $A$ 中的最小非负整数，即

$$ \text{MEX}(A) = \min_{i=0}^{\infty}{i\notin A} $$

现在你可以选择 $A$ 中的一些元素删除（可以删除所有元素），求最多可以删除多少个元素，使得 $\text{MEX}(A)$ 不变。

解题思路

题意比较简单，实际上就是让我们求出数组中未出现过的最小非负整数，并计算最多可以删除多少个元素。我们可以通过一次扫描的方法来实现，具体做法如下：

1. 按照从小到大的顺序枚举可能的 $\text{MEX}$，设当前枚举到的值为 $i$。
2. 维护一个变量 $k$，表示数组 $A$ 中已经有 $k$ 个元素小于 $i$（即 $A$ 中前 $k$ 个元素都小于 $i$）。初始时 $k=0$。
3. 依次扫描数组 $A$ 中的所有元素，若当前元素 $\leq i$，则将 $k$ 加 $1$。否则不更新 $k$。
4. 若当前 $k<i$，说明整个数组中还存在 $i$ 未出现过，我们可以将其作为新的 $\text{MEX}$。此时我们可以保留原数组中小于 $i$ 的所有元素和最多 $i-k-1$ 个大于等于 $i$ 的元素，即可保证 $\text{MEX}$ 不变。同时，$i-k-1$ 也就是我们可以删除的元素数量。
5. 若 $k\geq i$，说明当前 $i$ 已经出现过了，我们需要继续枚举下一个 $\text{MEX}$。

代码实现

以下是该算法的Python示例代码：

def max_deleted_elements(A):
    A.sort()
    n, k = len(A), 0
    for i in range(n + 1):
        if i == n or A[i] > i:
            return i - k
        k += A[i] <= i

时间复杂度为 $O(N\log N)$，空间复杂度为 $O(1)$。