最长递增索引除法子序列的长度

简介

最长递增索引除法子序列指的是给定一个数组，找到一个子序列，使得子序列中的数在原数组中的位置不降序，并且子序列中的数是原数组中的数的除法结果。求这个子序列的最长长度。

例如，给定数组 [2, 8, 4, 12, 16, 20]，最长递增索引除法子序列为 [2, 8, 16, 20]，长度为 4。

解法

动态规划是解决最长递增索引除法子序列的经典算法，具体步骤如下：

1. 定义状态：dp[i] 表示以第 i 个数作为结尾的最长递增索引除法子序列长度。
2. 状态转移方程：遍历 i 之前的所有数 j，若 nums[i] 可以除以 nums[j]，则 dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)。
3. 初始化：dp[i] 初始值都为 1，因为每个数都可以看成自己的递增索引除法子序列，长度为 1。
4. 最终结果：从 dp 数组中取出最大值即可。

下面是Python的实现代码片段：

def max_div_subsequence(nums):
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if nums[i] % nums[j] == 0:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
    return max(dp)

复杂度分析

时间复杂度 O(n^2)，空间复杂度 O(n)。

总结

最长递增索引除法子序列是一道经典的动态规划问题，在实际开发中也有一定应用。掌握动态规划思想，能够有效地优化操作，提高算法效率。