根据给定条件将整数N减小为1的最小成本

如何通过给定的条件来将整数N减小为1，并且尽可能地减小成本呢？这是一个常见的问题，特别是在算法和数据结构领域。

问题描述

给定一个正整数N，每次你可以执行下面两种操作之一：

1. 如果N是偶数，将N减半；
2. 如果N是奇数，将N减1。

你需要通过若干次操作，使得N最终变为1。并且你需要最小化整个操作的成本。

解法

这个问题可以使用贪心算法来解决。具体来说，我们可以使用以下规则：

• 如果N是偶数，则将其减半;
• 如果N是奇数，则将其减1.

这个算法的正确性可以通过归纳法证明。我们可以按照上述规则通过若干次操作使得N减小为1，并且当N大于1时，按照规则每次操作都能达到最大的减小速度。

但是，这个贪心算法无法得到最优解。比如，当N=6时，按照上述规则我们需要进行3次操作，但是如果我们将N减小为3，再将N减小为2，则一共只需要两次操作。因此，我们需要使用动态规划算法来解决这个问题。

我们可以使用一个数组dp来记录每个1~N的整数的最小成本。具体来说，我们有以下的递推公式：

dp[1]=0
dp[i]=min(dp[i/2]+cost[i],dp[i-1]+cost[i])

其中cost[i]表示将i减小到i/2或i-1所需要的成本。对于偶数，cost[i]=1；对于奇数，cost[i]=2。

根据上述递推公式，我们可以使用动态规划算法来计算dp[N]，即将N减小为1的最小成本。

代码

下面是Python代码实现：

def minCostTo1(N):
    cost = [0]*(N+1)
    for i in range(1, N+1):
        if i%2 == 0:
            cost[i] = 1
        else:
            cost[i] = 2

    dp = [0]*(N+1)
    for i in range(2, N+1):
        if i%2 == 0:
            dp[i] = min(dp[i//2]+cost[i], dp[i-1]+cost[i])
        else:
            dp[i] = min(dp[i//2]+cost[i], dp[(i+1)//2]+cost[i]+1)

    return dp[N]

结论

本文介绍了如何根据给定条件将整数N减小为1的最小成本。我们首先使用贪心算法来解决问题，但是发现这个算法无法得到最优解，进而使用动态规划算法来解决这个问题。具体来说，我们使用一个数组来记录每个1~N的整数的最小成本，并使用递推公式计算dp[N]。最终，我们得到了将整数N减小为1的最小成本。