根据给定条件将整数 N 减少到 1 的最小成本

题目描述

给定一个整数 N，你可以进行以下操作:

1. 如果 N 是偶数，将其除以 2。
2. 如果 N 是奇数，可以进行两种操作：将其加 1，或者将其减 1。 你的任务是将 N 减少到 1，并使操作次数最小化。

示例

输入: 8
输出: 3
解释: 8 -> 4 -> 2 -> 1

解题思路

根据题目的描述，我们可以列举出对于不同的 N，可能进行的操作和对应的代价:

| 操作 | 代价 | | ---- | ---- | | N/2 | 1 | | N+1 | 1 | | N-1 | 1 |

由此，我们可以得到一个简单的贪心策略：每次选择能够使得 N 除以 2 的操作，如果不能，则选择加 1 或减 1 的操作。

对于这种贪心策略的正确性，我们可以证明：如果 N 是偶数，则除以 2 显然比加 1 或减 1 的操作更优；如果 N 是奇数，我们进行加 1 或者减 1 操作后得到的是偶数，相当于除以 2，因此依然是最优的选择。

但是这种贪心策略有一个问题，当 N 是负数时会进入死循环，因此我们需要在代码中进行处理。

代码实现

def min_cost_to_one(n: int) -> int:
    if n < 1:
        return 0
    cost = 0
    while n != 1:
        if n % 2 == 0:
            n = n // 2
        elif n == 3 or ((n - 1) & (n - 2)) > ((n + 1) & n):
            n -= 1
        else:
            n += 1
        cost += 1
    return cost

复杂度分析

时间复杂度：$O(\log n)$，可以证明最多只需要进行 $O(\log n)$ 次操作。

空间复杂度：$O(1)$。

总结

本题利用了贪心算法的思想，通过列举不同的操作代价并设计一个贪心策略，找到了使得操作数最小的方案。这种思路在解决优化问题时常常能够发挥作用。