根据给定条件将整数 N 减少到 1 的最小成本

本次解题的主要思路是动态规划。

问题描述

给定一个整数N，你可以使用以下两个操作之一：

1. 如果N是偶数，那么将 N变为 N/2。
2. 如果N是奇数，那么将 N变为 N + 1或N - 1。

现在你的目标是将 N减少到1，并且每个操作的花费是不同的。

你需要编写一个函数，该函数能够计算出将 N减少到1所需的最小花费。

思路

我们将每个数都尽可能地减少到1。所以每次操作，我们要将操作后的数作为下一次操作的数。这样我们就可以得到一个递归的思路。

我们可以使用动态规划算法，用 $dp[i]$ 表示将 i 减少到 1所需的最小花费。

对于一个数 i，我们可以根据它的奇偶性得到它的下一步有两种可能：

1. $i$ 是偶数，则下一步将变为 $i/2$。
2. $i$ 是奇数，则下一步将变为 $i+1$ 或 $i-1$。

所以，我们可以列出递推公式： $$dp[i] = \min \begin{cases} dp[i/2] + cost1 \ dp[(i+1)/2] + cost1 + cost2 \ dp[(i-1)/2] + cost1 + cost2 \end{cases}$$ 其中，$cost1$ 表示从 $i$ 到 $i/2$ 的花费，$cost2$ 表示从 $i$ 到 $i+1$ 或 $i-1$ 的花费。

代码实现

下面是对应的Python代码片段：

def min_cost(N: int) -> int:
    dp = [0] * (N + 1)
    for i in range(2, N+1):
        dp[i] = dp[i//2] + cost1 if i % 2 == 0 else min(dp[i//2] + cost1, dp[(i+1)//2] + cost1 + cost2, dp[(i-1)//2] + cost1 + cost2)
    return dp[N]

其中，dp 为存储的数组，表示每个数将减少到1的最小成本。cost1 和 cost2 分别表示操作 $i/2$ 和 $i+1$ 或 $i-1$ 的花费。

该算法的复杂度为 $O(NlogN)$，因为我们计算每个数需要 $O(logN)$ 的时间。