将数组拆分为相等的总和

在程序开发过程中，我们有时需要将一个数组拆分为若干个子数组，使得每个子数组的元素之和都相等。这种需求在分组统计、贪心算法等场景中非常常见。

题目描述

假设我们有一个长度为 n 的整数数组 nums，请编写函数分割该数组，使得分割后的子数组元素之和都相等，且将分割的位置存储在另一个数组 result 中，返回 result。

如果有多种满足条件的分割方法，可以返回任意一种，如果不能分割，则返回空数组。

解题思路

1. 暴力枚举

暴力枚举是最简单的方法，我们可以先算出数组元素总和 sum，然后从 1 到 n 遍历每种分割情况，对于每种情况，判断是否满足元素之和相等的条件，如果满足，返回结果。时间复杂度为 O(2^n)。

def splitArray(nums):
    n = len(nums)
    sum = 0
    for i in range(n):
        sum += nums[i]
    if sum % k != 0:
        return []
    target = sum // k

    def dfs(start, cnt, curSum):
        if cnt == k:
            return True
        if curSum == target:
            return dfs(0, cnt + 1, 0)
        for i in range(start, n):
            if used[i] or curSum + nums[i] > target:
                continue
            used[i] = True
            if dfs(i + 1, cnt, curSum + nums[i]):
                return True
            used[i] = False
        return False

    used = [False] * n
    result = []
    if dfs(0, 0, 0):
        j = 0
        for i in range(k - 1):
            while sum(result[i]) != target:
                result[i].append(nums[j])
                j += 1
        result.append(nums[j:])
        return result
    else:
        return []

2. 贪心算法

我们可以先排序数组 nums，然后从数组头尾开始，依次将每个大于 target 的元素插入到相邻的子数组中，直到所有元素都插入完毕。时间复杂度为 O(nlogn)。

def splitArray(nums):
    n = len(nums)
    sum = 0
    for i in range(n):
        sum += nums[i]
    if sum % k != 0:
        return []
    target = sum // k

    nums = sorted(nums)
    i, j = 0, n - 1
    while i <= j:
        if nums[i] > target:
            return []
        if nums[j] > target:
            return []
        if nums[i] + nums[j] <= target:
            nums[i] += nums[j]
            j -= 1
        else:
            nums[j - 1] += nums[j]
            j -= 1
    if nums[i] != target:
        return []
    result = []
    i, j = 0, 0
    while i < n:
        j = i + 1
        while j < n and nums[j] != nums[i]:
            j += 1
        result.append(nums[i:j])
        i = j
    return result

3. 动态规划

我们可以用动态规划的方法解决该问题。设 dp[i][j][k] 表示前 i 个元素分成 j 个子数组，其中第 j 个子数组的元素之和为 k 的方案数。转移方程为：

dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k] + dp[i-1][j-1][k-nums[i-1]]

初始状态为 dp[0][0][0] = 1，最终结果为 dp[n][k][target]。时间复杂度为 O(n^2k)。

def splitArray(nums):
    n = len(nums)
    sum = 0
    for i in range(n):
        sum += nums[i]
    if sum % k != 0:
        return []
    target = sum // k

    dp = [[[0] * (target + 1) for _ in range(k + 1)] for _ in range(n + 1)]
    dp[0][0][0] = 1
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, k + 1):
            for l in range(1, target + 1):
                if l >= nums[i - 1]:
                    dp[i][j][l] = dp[i - 1][j][l] + dp[i - 1][j - 1][l - nums[i - 1]]
                else:
                    dp[i][j][l] = dp[i - 1][j][l]
    if dp[n][k][target] == 0:
        return []
    result = []
    i, j, l = n, k, target
    while i > 0 and j > 0 and l > 0:
        if dp[i][j][l] == dp[i - 1][j][l]:
            i -= 1
        else:
            result.append(nums[i - 1])
            i -= 1
            j -= 1
            l -= nums[i]
    result.reverse()
    return [result[i:i + j] for i in range(0, k * len(result), len(result))]

总结

本文介绍了三种将数组拆分为相等的总和的方法：暴力枚举、贪心算法和动态规划。在实际应用中，应视情况选择合适的算法。如果待处理的数组长度较小，则可以使用暴力枚举的方法；如果待处理的数组长度较大，并且元素值不是很大，则可以使用贪心算法；如果待处理的数组长度较大，并且元素值比较大，则可以使用动态规划方法。