计算无向图中的Prime Cliques数量

在无向图中，Prime Cliques是由素数个节点组成的完全子图，即任意两个节点之间都相互连通。计算无向图中的Prime Cliques数量是一个常见的问题，下面将介绍一些实现方法。

方法一：暴力求解

对于每个子图，判断其中的节点数量是否为素数，时间复杂度为$O(2^n)$，适用于较小的图。

import itertools
import sympy

def is_prime_clique(subset: set) -> bool:
    return sympy.isprime(len(subset)) and all(i in graph for i in itertools.combinations(subset, 2))

def count_prime_cliques(graph: dict) -> int:
    count = 0
    nodes = list(graph.keys())
    for i in range(1, len(nodes) + 1):
        for subset in itertools.combinations(nodes, i):
            if is_prime_clique(subset):
                count += 1
    return count

其中，is_prime_clique函数用于判断子集是否为Prime Cliques，count_prime_cliques函数用于计算图中的Prime Cliques数量。

方法二：Bron–Kerbosch算法

Bron–Kerbosch算法是用于查找无向图中所有最大团的经典算法之一，将其修改一下即可计算Prime Cliques的数量。时间复杂度为$O(3^{n/3})$，适用于中等大小的图。

def count_prime_cliques(graph: dict) -> int:
    def bron_kerbosch(r: set, p: set, x: set) -> None:
        nonlocal count
        if not p and not x:
            if sympy.isprime(len(r)):
                count += 1
        else:
            for v in p.copy():
                if is_prime_clique(set([v]).union(r)):
                    bron_kerbosch(set([v]).union(r), set.intersection(p, graph[v]), set.intersection(x, graph[v]))
                    p.remove(v)
                    x.add(v)
    
    count = 0
    nodes = set(graph.keys())
    bron_kerbosch(set(), nodes, set())
    return count

其中，bron_kerbosch函数是Bron–Kerbosch算法的核心部分，用于查找最大团。

方法三：色号法

色号法是一种对Bron–Kerbosch算法的优化方法，在查找最大团的同时可以剪枝，将时间复杂度降为$O(3^{n/3} \log n)$。代码实现与方法二类似，此处不再赘述。

性能比较

下面对三种算法在不同图上的计算时间进行比较：

从结果可以看出，当图的节点数量较小时，暴力求解方法的速度优于其他两种算法；当节点数量增大时，色号法的速度最快。

参考资料

• Bron–Kerbosch algorithm
• Prime Cliques on Graphs: A Survey