计算无向图中的Prime Cliques数量

Prime Cliques是一种特殊的图形结构，它是一个完全子图，并且其中的所有节点的度数都是素数。计算无向图中的Prime Cliques数量是一个复杂的任务，需要用到图论和数论的知识。

算法概述

计算无向图中的Prime Cliques数量的算法主要分为两个步骤：

1. 枚举所有可能的完全子图，找出其中所有节点的度数都是素数的子图；
2. 对所有符合条件的子图求出Prime Cliques数量，并将其相加得到最终的结果。

对于第一步，我们可以使用Bron-Kerbosch算法来枚举所有可能的完全子图。该算法的时间复杂度为O(3^(n/3))，如果图的大小比较小的话，可以使用该算法直接求解。但是，如果图的大小比较大，我们需要使用一些更高效的算法。

对于第二步，我们可以使用一些数学方法来求解Prime Cliques数量。具体来说，我们需要知道一个素数的个数，以及组合数的计算方法。

代码实现

以下是Python代码示例，用于计算无向图中的Prime Cliques数量。该算法使用了Bron-Kerbosch算法和一些数论方法：

import math
from functools import lru_cache

@lru_cache(maxsize=None)
def is_prime(n: int) -> bool:
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(math.sqrt(n))+1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

@lru_cache(maxsize=None)
def count_primes(n: int) -> int:
    return len([i for i in range(2, n+1) if is_prime(i)])

def binomial(n: int, k: int) -> int:
    if k > n or k < 0:
        return 0
    if k == 0 or k == n:
        return 1
    return binomial(n-1, k-1) + binomial(n-1, k)

def count_prime_cliques(graph: List[List[int]]) -> int:
    def bron_kerbosch(r: List[int], p: List[int], x: List[int]) -> None:
        nonlocal count
        if not p and not x:
            for i, u in enumerate(r):
                for v in r[i+1:]:
                    if v not in graph[u]:
                        break
                else:
                    break
            else:
                t = count_primes(len(r))
                if t > 0:
                    count += binomial(len(p)+len(x), len(x)) * t
            return
        for v in p[:]:
            p.remove(v)
            bron_kerbosch(r+[v], [n for n in p if n in graph[v]], [n for n in x if n in graph[v]])
            x.append(v)
        return
    count = 0
    bron_kerbosch([], list(range(len(graph))), [])
    return count

性能分析

算法的时间复杂度主要来自Bron-Kerbosch算法的复杂度和计算素数和组合数的操作。Bron-Kerbosch算法的时间复杂度为O(3^(n/3))，计算素数和组合数的操作可以使用缓存来优化，时间复杂度可以达到O(n^3/3)。

算法的空间复杂度主要来自Bron-Kerbosch算法使用的递归栈和计算素数和组合数的操作。如果使用缓存来优化计算素数和组合数的操作，空间复杂度可以达到O(n^2)。

结论

计算无向图中的Prime Cliques数量的算法主要依赖于Bron-Kerbosch算法和一些数论知识。本文给出了一个Python实现，该实现使用了Bron-Kerbosch算法和一些数学方法来计算无向图中的Prime Cliques数量。该算法的时间复杂度为O(n^3/3)，如果图的大小比较小，则可以使用Bron-Kerbosch算法直接求解。