在圆内找到 N 个随机点

在这个问题中，我们需要生成一些随机点并将它们限制在一个给定的圆内。我们假设该圆位于二维平面上且它的圆心坐标为 $(x_c, y_c)$，半径为 $r$。

生成随机点

为了生成随机点，我们可以使用均匀分布生成随机数，然后将其映射到圆的范围内。具体来说，我们可以用以下步骤生成 $n$ 个随机点：

1. 生成两个均匀随机数 $u_1$ 和 $u_2$，它们在区间 $[0, 1)$ 中均匀分布。
2. 计算极径 $r$，其中 $r = \sqrt{u_1} \times r$。
3. 计算角度 $\theta$，其中 $\theta = u_2 \times 2\pi$。
4. 将极坐标转换为直角坐标 $(x, y)$，其中 $x = x_c + r \times \cos(\theta)$，$y = y_c + r \times \sin(\theta)$。

这样我们就可以生成指定个数的随机点了。

限制在圆内

由于我们生成的点是在圆外的，所以我们需要将其限制在圆内。为了实现这一点，我们需要做以下的检查：

1. 如果点 $(x, y)$ 到圆心距离小于等于圆的半径 $r$，那么该点是在圆内的。

因此我们可以使用以下步骤将点限制在圆内：

1. 生成随机点。
2. 检查该点是否在圆内。
3. 如果在圆内，则将该点添加到结果列表中。
4. 如果不在圆内，则重复步骤 1。

代码实现

以下是使用 Python 实现上述算法的代码片段：

import math
import random

def generate_random_points_in_circle(center_x, center_y, radius, n):
    points = []
    while len(points) < n:
        u1, u2 = random.uniform(0, 1), random.uniform(0, 1)
        r = math.sqrt(u1) * radius
        theta = u2 * 2 * math.pi
        x = center_x + r * math.cos(theta)
        y = center_y + r * math.sin(theta)
        if math.sqrt((x - center_x)**2 + (y - center_y)**2) <= radius:
            points.append((x, y))
    return points

其中 center_x 和 center_y 表示圆心坐标，radius 表示圆的半径，n 表示需要生成的随机点的数目。这个函数返回一个包含 $n$ 个坐标元组的列表，表示生成的随机点的位置。