找到最小半径，使得至少 k 点位于圆内

这是一个常见的算法问题，可应用于多种场景中，如无线通讯、最短路径规划等。

问题描述

给定一个平面上的 n 个点，找到一个圆，使得至少 k 个点位于圆内，并且圆的半径最小。

解决方案

我们可以使用二分答案的思想来解决这个问题，在确定圆的半径 r 后，判断是否存在至少 k 个点在圆内。如果存在，则继续缩小半径；如果不存在，则扩大半径。直到半径缩小到最小值。

具体来说，对于固定半径 r，对每个点计算它与圆心的距离，如果小于等于 r，则该点在圆内。计算圆内点的个数，如果大于等于 k，则说明半径为 r 的圆符合要求，即至少 k 个点位于圆内；否则，半径为 r 的圆不能满足要求，需要增大半径。

时间复杂度为 O(n log w)，其中 w 是二分的上界，总共有 O(log w) 次二分。

代码实现

下面是一个 Python 实现示例：

import math

def check(points, x, y, r, k):
    count = 0
    for px, py in points:
        dist = math.sqrt((x - px) ** 2 + (y - py) ** 2)
        if dist <= r:
            count += 1
    return count >= k

def bs(points, k):
    n = len(points)
    l, r = 0, float("inf")
    res = float("inf")
    eps = 1e-6
    while r - l > eps:
        mid = (l + r) / 2
        found = False
        for i in range(n):
            for j in range(i + 1, n):
                x = (points[i][0] + points[j][0]) / 2
                y = (points[i][1] + points[j][1]) / 2
                dist = math.sqrt((points[i][0] - points[j][0]) ** 2 +
                                 (points[i][1] - points[j][1]) ** 2) / 2
                if check(points, x, y, mid, k):
                    res = min(res, mid)
                    found = True
                    break
            if found:
                break
        if not found:
            l = mid
        else:
            r = mid
    return res

这里的 bs 函数实现了上述的二分答案算法。check 函数用来判断给定圆心和半径的圆是否满足要求。

总结

本文介绍了如何使用二分答案的思想解决找到最小半径，使得至少 k 点位于圆内的问题。这是一种常见的算法问题，可以应用于多种场景中。在实现中，我们需要注意判断圆内点的个数和判断圆是否符合要求的函数实现。