有向图中边的异或总和最小的路径

在有向图中，每条边都有一个权值，我们可以通过这些权值来计算出从某个起点到终点的最短路径。但是，如果我们希望得到一条经过的边的权值异或和最小的路径，该如何解决呢？

这种问题可以用基于最小生成树的算法来解决。其中，Prim算法和Kruskal算法是两种常见的最小生成树算法。

Prim算法

Prim算法是一种贪心算法，它从一个起始节点开始，逐步扩展成一颗最小生成树。具体步骤如下：

1. 选择任意一个节点作为起始节点，将其加入最小生成树；
2. 在所有与已加入最小生成树的节点直接相邻的边中，选取一条权值最小的边，将它所连接的节点加入最小生成树；
3. 重复第二步，直到所有节点都已加入最小生成树。

在Prim算法中，我们需要同时维护两个集合：MST集合和非MST集合。MST集合用于存放已加入最小生成树的节点，非MST集合用于存放还未加入最小生成树的节点。我们用key数组来保存每个节点到MST集合中的最小距离。对于每个节点，我们需要查询它的邻居是否在MST集合中，如果是，则更新key数组。同时，我们需要记录每个节点的父节点，以便构造最小生成树。

在代码实现方面，我们可以使用堆来维护非MST集合中的节点。每次从堆中取出key值最小的节点，加入MST集合，并更新其邻居的key值。

下面是Prim算法的代码实现：

import heapq

def prim(graph, start):
    n = len(graph)
    key = [float('inf')] * n
    parent = [None] * n
    mst = set()
    non_mst = [(0, start)]
    key[start] = 0
    while non_mst:
        k, u = heapq.heappop(non_mst)
        if u in mst:
            continue
        mst.add(u)
        for v, w in graph[u]:
            if v not in mst and w < key[v]:
                key[v] = w
                parent[v] = u
                heapq.heappush(non_mst, (w, v))
    return parent

Kruskal算法

Kruskal算法也是一种常用的最小生成树算法。它的主要思想是，将所有的边按照权值从小到大排序，然后每次加入一条边，如果这条边所连接的两个节点不在同一个连通分量内，则加入最小生成树。具体步骤如下：

1. 对所有边按照权值从小到大排序；
2. 依次遍历所有边，如果这条边所连接的两个节点不在同一个连通分量内，则加入最小生成树；
3. 重复第二步，直到生成的边数等于节点数减1。

在实现Kruskal算法时，我们需要使用并查集来进行连通性判断。具体来说，我们需要维护一个parent数组，表示每个节点所属的连通分量。每次加入一条边时，我们需要检查它所连接的两个节点是否在同一个连通分量内。如果是，则不加入这条边；如果不是，则合并这两个连通分量。

下面是Kruskal算法的代码实现：

def find(parent, u):
    while parent[u] != u:
        u = parent[u]
    return u

def kruskal(graph):
    n = len(graph)
    parent = list(range(n))
    edges = []
    for u in range(n):
        for v, w in graph[u]:
            edges.append((w, u, v))
    edges.sort()
    mst = []
    for w, u, v in edges:
        pu = find(parent, u)
        pv = find(parent, v)
        if pu != pv:
            parent[pv] = pu
            mst.append((u, v))
        if len(mst) == n - 1:
            break
    return mst

使用异或操作找到最小权值

在得到了最小生成树之后，我们可以使用异或操作来计算出从原点到终点的最小权值。具体来说，我们可以使用DFS遍历最小生成树，记录下从起点到每个节点的异或和。最终，我们可以通过这些记录得到从起点到终点的最小权值。

下面是计算最小路径的代码实现：

def dfs(graph, u, parent, xor_sum):
    for v, w in graph[u]:
        if v != parent[u]:
            dfs(graph, v, parent, xor_sum ^ w)

def min_path(graph, start, end):
    parent = prim(graph, start)
    dfs(graph, start, parent, 0)
    return xor_sum[end]

总结

本文介绍了在有向图中找到边的异或总和最小的路径的算法。具体来说，我们使用了基于最小生成树的算法，包括Prim算法和Kruskal算法。在得到最小生成树之后，我们使用DFS遍历最小生成树，记录下从起点到每个节点的异或和。最终，我们可以通过这些记录得到从起点到终点的最小权值。