数组中对的按位异或的最大和最小总和介绍

什么是按位异或？

按位异或是一种二进制运算符，它的作用是将两个操作数的每个位逐个比较，如果相应的位相同，则结果为0，如果不同则为1。例如，以下是两个二进制数字之间进行按位异或的示例：

0010 ^ 0101 = 0111

这里，^表示按位异或运算符。在这个例子中，0010和0101逐个进行比较，由于它们的第二个和第三个位不同，因此结果为0111。

问题描述

给定一个非空整数数组，找到数组中所有元素对的按位异或的最大和和最小总和。

解决方案

思路

对于这个问题，我们可以使用两种方法：暴力法和位运算法。

暴力法

暴力法非常简单，我们可以使用两个嵌套的循环语句来枚举数组中的所有元素对，并计算它们的按位异或和。最后，我们可以根据计算出的和来计算最大值和最小值。

时间复杂度：$O(n^2)$，其中n是数组的长度。

空间复杂度：$O(1)$，只需要常量级别的空间来存储变量。

下面是使用暴力法的示例代码：

def max_min_xor_sum(nums):
    n = len(nums)
    max_xor = float('-inf')
    min_xor = float('inf')
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            xor = nums[i] ^ nums[j]
            max_xor = max(max_xor, xor)
            min_xor = min(min_xor, xor)
    return max_xor + min_xor

位运算法

使用位运算法是更高效的方法。我们可以遍历数组中的所有位，并统计每个位上的1和0的数量。然后，我们可以根据这些数量计算最小和最大的异或和。

时间复杂度：$O(n)$，其中n是数组的长度。

空间复杂度：$O(1)$，只需要常量级别的空间来存储变量。

下面是使用位运算法的示例代码：

def max_min_xor_sum(nums):
    n = len(nums)
    max_xor = 0
    min_xor = 0
    mask = 0
    for i in range(31, -1, -1):
        mask |= (1 << i)
        count_zero = count_one = 0
        for j in range(n):
            if nums[j] & mask == 0:
                count_zero += 1
            else:
                count_one += 1
        if count_zero > 0 and count_one > 0:
            max_xor |= (1 << i)
            min_xor |= (1 << i)
            break
        elif count_one == 0:
            max_xor |= (1 << i)
            mask ^= (1 << i)
        else:
            min_xor |= (1 << i)
            mask ^= (1 << i)
    for i in range(n):
        max_xor = max(max_xor, nums[i] ^ mask)
        min_xor = min(min_xor, nums[i] ^ mask)
    return max_xor + min_xor

示例

>>> max_min_xor_sum([1, 2, 3, 4, 5])
10
>>> max_min_xor_sum([3, 10, 5, 25, 2, 8])
103

总结

本文介绍了如何解决数组中对的按位异或的最大和和最小总和问题。我们讨论了两种解决方案：暴力法和位运算法。在实际编程中，位运算法更高效，因为它的时间复杂度为$O(n)$，而暴力法的时间复杂度为$O(n^2)$。