两圆心连线的垂直平分线的长度

在计算机图形学和计算几何中，经常需要计算两圆的相关性质，如它们的交点，切线，交集面积等等。其中一个重要的性质是两圆心连线的垂直平分线的长度，它有着广泛的应用。

基本概念

两个圆的圆心分别为 $C_1(x_1, y_1)$ 和 $C_2(x_2, y_2)$，它们的半径分别为 $r_1$ 和 $r_2$。则两圆心之间的距离可以表示为：

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

两圆心连线的垂直平分线与两圆心连线的夹角为 $θ$，则有：

$$tan \frac{θ}{2} = \frac{r_2 - r_1}{d}$$

两圆心连线的垂直平分线长度为 $l$，则：

$$l = \frac{2(r_1 r_2)}{d} \times cos \frac{θ}{2}$$

代码实现

在计算两圆心之间距离和夹角时，可以直接利用向量的内积公式和余弦定理。具体而言，向量 $V = \overrightarrow{C_1C_2}$ 可以表示为：

$$V = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \ y_2 - y_1 \end{pmatrix}$$

两圆心连线的夹角可以表示为：

$$cosθ = \frac{\overrightarrow{C_1C_2} \cdot \overrightarrow{O_1O_2}}{|\overrightarrow{C_1C_2}| |\overrightarrow{O_1O_2}|}$$

其中向量 $\overrightarrow{O_1O_2} = \overrightarrow{C_2C_1}$，其长度为 $d$。两圆心连线的垂直平分线长度可以表示为：

$$l = r_1 + \frac{r_2 - r_1}{d} \times \sqrt{d^2 - (r_2 - r_1)^2}$$

Python代码实现：

import math

def circle_distance(cx1, cy1, r1, cx2, cy2, r2):
    dx, dy = cx2 - cx1, cy2 - cy1
    d = math.hypot(dx, dy)
    cos_theta = (dx*dx + dy*dy + r1*r1 - r2*r2) / (2*d*r1)  # cos(θ/2)^2
    sin_theta = math.sqrt(1 - cos_theta*cos_theta)
    length = r1 * cos_theta + r1 * sin_theta
    return length

性质分析

两圆心连线的垂直平分线的长度是由两圆的半径和圆心之间的距离决定的，而与两圆心在坐标系中的具体位置无关。可以发现，当圆心距离越大时，两圆心连线的夹角就越接近 $90^{\circ}$，垂直平分线的长度就越小。

另外，当两个圆相离时，两圆心连线的垂直平分线长度为 $|r_1 - r_2|$；当一个圆在另一个圆内部或相切时，两圆心连线的垂直平分线长度为 $r_1$；而当两个圆相交时，两圆心连线的垂直平分线长度为上述式子所计算的值。